급수의 수렴과 발산 판정법 (2)

 

지난 글에서 급수의 수렴과 발산 판정법 일부를 봤었다. 이번에는 그에 이어서 다른 판정법들을 보고자 한다.

 

1. 달랑베르 비율 판정법(D'Alembert Ratio Test)

 

달랑베르 비율 판정법은 수열의 인접 두 항의 비율을 통해서 급수의 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. $a_n\ne 0$인 경우 충분히 큰 $n$에 대해서 다음과 같은 비율을 고려해본다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=a\end{array}$$

 

이때 $n$과 관계없는 $r$에 대해서  $a\le r<1$이라면 급수는 수렴하고 $a\ge 1$이라면 급수는 발산한다.

먼저 $a>1$에 대해 충분히 $n$이 클 경우 $|a_{n+1}|>|a_n|$이기 때문에 수열이 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 급수의 수렴 조건을 만족하지 못하기 때문에 해당 경우는 발산함을 바로 알 수있다.

충분히 큰 $n$에 대해서 다음과 같은 식이 만족한다.
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<r\end{array}$$

이후의 숫자들에 대해서도 (2)의 부등식이 만족하므로 $n$보다 큰 $m$에 대해서 다음 식이 성립한다.
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \left|a_m\right|=|\frac{a_m}{a_{m-1}}\cdot \frac{a_{m-1}}{a_{m-2}}\cdots \frac{a_{n+1}}{a_n}|\cdot \left|a_n\right|\le |a_n|r^{m-n}\end{array}$$

그런데 (3)의 마지막 오른쪽 식은 결국 등비 급수를 의미하며 $0<r<1$이었기 때문에 해당 등비 수열은 수렴한다.
따라서 비교 판정법에 의해서 전체 급수가 수렴함을 알 수 있다.

 

 

2. 코시 적분 판정법(Cauchy Integral Test)

 

코시 적분 판정법은 $n\in \mathbb{N}$에 대해 함수 $f(x)$가 연속이고 단조 감소 함수(monotonic decreasing function)일 때 성립하는 판정법이다. 이 조건을 만족하는지 먼저 확인하는 것이 중요하다.

 

이 함수를 이용해서 $a_n=f(n)$인 수열을 만들었을 경우 이 수열의 급수는 연속 함수의 적분이 유한하다면 수렴하고 적분이 무한하면 발산한다는 정리를 의미한다.

$$\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\{\begin{array}{ll}\text{converge},& if{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f(x)<\mathrm{\infty }\\ \text{diverge},& if{\int }_m^{\mathrm{\infty }}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\end{array}$$

 

수열의 부분합을 $s_i$라고 하자.
$$\begin{array}{}\text{(4)}& s_i=\sum _{n=m}^i{a}_n=\sum _{n=m}^i{a}_n\end{array}$$

그런데 $f(x)$가 단조 감소 함수이므로 다음과 같은 관계식이 성립한다. (아래의 사진 참조) 상적분(upper integral)과 같은 그림을 떠올리면 편하다.
$$\begin{array}{}\text{(5)}& s_i\ge {\int }_m^{i+1}f(x)dx\end{array}$$

반면 하적분(lower integral)과 같은 그림을 생각해보면 다음과 같은 관계가 만족한다.
$$\begin{array}{}\text{(6)}& s_i-a_m\le {\int }_m^{i}f(x)dx\end{array}$$

따라서 최종적으로 다음과 같은 부등식을 만들 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_m^{i+1}f(x)dx\le s_i=\sum _{n=m}^i{a}_n\le {\int }_m^{i}f(x)dx+a_m\end{array}$$

이제 가운데 있는 부분합을 급수로 바꾸기 위해서 $i\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취한다.
$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\int }_m^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=m}^i{a}_n\le {\int }_m^{\mathrm{\infty }}f(x)dx+a_m\end{array}$$

식 (8)에서 만약 왼쪽 적분 식이 발산한다면 비교 판정법에 의해서 가운데 극한식이 발산한다. 따라서 급수의 수렴성 정의에 의해서 급수는 수렴할 수 없다.

하지만 식 (8)의 적분들이 유한한 값을 가진다고 가정하고 그 값을 $b$라고 하면
$$\begin{array}{}\text{(9)}& b\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=m}^i{a}_n\le b+a_m\end{array}$$
이므로 가운데 극한은 $b$와 $b+a_m$사이의 어떤 유한한 값으로 수렴한다.

따라서 급수의 수렴성 정의에 의해서 $\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴함을 알 수 있다.

급수의 수렴과 발산 판정법 (1)