급수의 수렴과 발산 판정법 (4)

 

이번에는 자주 쓰이는 판정법은 아니지만 몇 가지 자잘한 판정법을 소개해보려고 한다.

 

1. 쿠머 판정법(Kummer test)

 

쿠머 판정법은 모든 항이 양수인 수열(sequence) \( a_n \)에 대해서 다른 보조 수열(auxiloary sequence) \( \zeta_n > 0  \)이 있어서 이 보조 수열을 응용해서 \(a_n\)의 급수(series)의 수렴성을 판정한다.

 

구체적으로 다음과 같은 부등식이 성립한다면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)은 수렴한다.

$$ r = \liminf_{n \rightarrow \infty} \left( \zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1} \right) > 0 \tag{1}$$

이때 \( \liminf \)에 대해서는 지난 글에서 간단하게 설명했었다.

 

또한 만약 보조 함수의 역수로 이루어진 급수가 발산할 경우 다음 부등식이 성립하면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)은 발산한다.

$$\text{for} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\zeta_n} \rightarrow \text{diverge} $$

$$ R = \limsup_{n \rightarrow \infty} \left( \zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1} \right) < 0 \tag{2}$$

 

식 (1)이 성립하는 경우먼저 보도록 하자. 이 경우 다음과 같은 상수 \( c \)가 존재한다.
$$ \exists c \; \text{so that} \quad 0 < c < \zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1} \tag{3}$$

이제 식 (3)에서 보조 수열이 양수였기 때문에 다음과 같이 정리가 가능하다.
$$ 0 < s = c a_{n+1} < \zeta_n a_n - \zeta_{n+1} a_{n+1} \tag{4}$$

\(b_n = \zeta_n a_n\)이라는 또다른 수열을 정의하면 식 (4)의 관계에 의해 \(b_n\)은 단조 감소(monotonous decrease) 수열임을 알 수 있다.
$$ b_{n+1} + s < b_n \tag{5} $$

그러나 수열 \(b_n\)은 양수 수열끼리의 곱이기 때문에 반드시 양수이고 따라서 이 단조 감소 수열은 어떤 양수로 수렴한다.

따라서 식 (4)에서 급수를 만들면 다음과 같이 된다.
$$ 0 < \sum_{k=1}^{\infty} c a_{k+1} < \sum_{k=1}^{\infty} (b_k - b_{k+1}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_1 - b_n) \tag{6}$$

식 (6)의 가장 오른쪽 식은 수렴하기 때문에 비교 판정법(comparison test)에 의해서 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)이 수렴함을 알 수 있다.

발산은 식 (2)가 성립하는 경우 다음 부등식이 성립한다.
$$ \zeta_n a_n < \zeta_{n+1} a_{n+1} \tag{7}$$
$$ \frac{\zeta_{n}}{\zeta_{n+1}} < \frac{a_{n+1}}{a_n} \tag{8}$$

식 (8)을 응용해서 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ \frac{a_{N+1}}{a_N} \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} \cdots \frac{a_{N+n}}{a_{N+n-1}} = \frac{a_{N+n}}{a_N} > \frac{\zeta_{N}}{\zeta_{N+1}} \frac{\zeta_{N+1}}{\zeta_{N+2}} \cdots \frac{\zeta_{N+n-1}}{\zeta_{N+n}} = \frac{\zeta_{N}}{\zeta_{N+n}} \tag{9}$$
$$ a_{N+n} > a_N \zeta_N \frac{1}{\zeta_{N+n}} \tag{10}$$

식 (10)을 이용해서 급수를 만들면 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\zeta_n} \)이 발산함과 비교 판정법에 의해 \(a_n\)이 발산함을 알 수 있다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{N+n} > a_N \zeta_N \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\zeta_{N+n}} \tag{11}$$

 

 

2. 베르트랑 판정법(Bertrand test)

 

베르트랑 판정법은 판정하고자 하는 수열 \( a_n \)에 대해 다음 부등식이 성립하면 수렴한다.

$$r = \liminf_{n \rightarrow \infty} \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right) > 1 \tag{12}$$

 

다음 부등식이 성립하면 발산한다.

$$ R = \limsup_{n \rightarrow \infty} \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right) < 1 \tag{13}$$

 

베르트랑 판정법의 증명은 쿠머 판정법을 이용해서 진행한다.

먼저 쿠머 판정법에서 \( \zeta_n = n \ln{n} \)으로 놓으면 수렴하는 수열의 경우 다음 부등식이 성립한다.
$$\liminf_{n \rightarrow \infty} \left( n \ln{n} \frac{a_n}{a_{n+1}} - (n+1) \ln{(n+1)} \right) > 0\tag{14}$$

이제 좌변의 수열 식을 다음과 같이 변형해보자.
$$ \begin{matrix} n \ln{n} \frac{a_n}{a_{n+1}} - (n+1) \left( \ln{n} + \ln{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)} \right) & =  & n \ln{n} \frac{a_n}{a_{n+1}} - (n+1) \ln{n} - \ln{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1}} \\ & = & \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right) - \ln{ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}} \end{matrix}$$

이때 다음과 같은 부등식이 성립한다. (\( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} > 1 \))을 사용함.
$$ \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) -1 \right) - 1 > \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right) - \ln{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}} \tag{15}$$

이제 식 (15)와 식 (14)를 응용하면 다음 식이 성립한다.
$$ \liminf_{n \rightarrow \infty} \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right) > 1 \tag{16}$$

베르트랑 판정법은 쿠머 판정법의 한 예시로 볼 수 있다.

따라서 발산에 관련해서도 \( \zeta_n = n \ln{n} \)의 역수로 이루어진 급수가 발산함은 비율 판정법 등을 통해서 확인할 수 있고 수렴과 같은 방법을 거쳐서 발산을 증명할 수 있다.

 

 

3. 가우스 판정법(Gauss test)

 

가우스 판정법은 \( a_n \)이 양수인 수열이며 \( p \in \mathbb{R} \), \(r > 1\)이며 마지막으로 \( B_n \)이 실수이면서 유계(bounded)인 수열일 경우 다음 관계식을 통해 판정한다.

$$ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 1 + \frac{p}{n} + \frac{B_n}{n^r} \tag{17}$$

 

이때 \( p > 1\)이면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)이 수렴하고 \( p \leq 1\)이변 발산한다. 이때 위의 다른 판정법과 달리 \( p = 1\)인 경우도 포함되어 있다.

 

먼저 \( p > 1\)인 경우 식 (17)을 다음과 같이 변형해보자.
$$ n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) = p + \frac{B_n}{n^{r-1}} \tag{18}$$

\( p > 1\)이고 \( B_n \)의 부호와 관계 없이 유계이기 때문에 \( \frac{B_n}{n^{r-1}} \)은 감소 수열이 된다. 따라서 충분히 큰 \( n \)에 대해서는 다음과 같은 부등식이 만족한다.
$$ n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = p + \frac{B_n}{n^{r-1}} > 1 \tag{19} $$

양변에 하극한(lower limit)을 취해보면
$$ \liminf_{n \rightarrow \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \left( p + \frac{B_n}{n^{r-1}} \right) = p > 1 \tag{20}$$

따라서 지난 '급수의 수렴과 발산 판정법 (3)'에서 다뤘던 라베 판정법(Raabe test)에 의해서 \( a_n \)이 수렴함을 알 수 있다. 따라서 \( p > 1 \)인 경우 \( a_n \)이 수렴함을 알 수 있다.

마찬가지로 \( p < 1 \)인 경우도 똑같은 과정을 거쳐서 발산함을 알 수 있다.

\( p = 1\)인 경우 식 (15)를 다음과 같이 바꿔쓰자.
$$ n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 = \frac{B_n}{n^{r-1}} \tag{21}$$

이제 식 (21)의 양변에 \( ln{n} \)을 곱해보면 다음과 같다.
$$ \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) -1 \right) = \frac{B_n}{n^{r-1}} \ln{n} \tag{22}$$

식 (22)의 양변에 상극한(upper limit)을 취해보면
$$ \limsup_{n \rightarrow \infty} \left[ \ln{n} \left( n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) - 1 \right) \right] = \limsup_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{B_n}{n^{r-1}} \ln{n} \right) = 0 < 1 \tag{23}$$

따라서 베르트랑 판정법에 의해서 \( p = 1\)인 경우 \( a_n \)이 발산함을 알 수 있다.

 

급수의 수렴과 발산 판정법 (3)