벡터, 정확히 알고 있나요? 벡터의 성질

지난 글에서는 고등학교 과정에서 일반적으로 배우는 유클리드 벡터(Euclidean vector)를 넘어서 일반적인 벡터의 정확한 수학적 정의가 무엇인지 살펴봤다.

 

이번 글에서는 벡터의 정의에서 기인하는 벡터의 몇가지 성질들과 성질을 나타내는 정의들을 정리해보려고 한다. 다만 이번 글에서 다룰 대상은 유클리드 벡터로 한정짓겠다.

 

물리학에서도 많은 경우 유클리드 벡터를 다루며 다른 정의가 필요한 경우는 그때가서 정의를 새로 살펴볼 계획이다.

 

 

1. 벡터의 크기(magnitude)

 

크기가 부여된 벡터 공간(vector space)의 경우 해당 공간의 원소(element)들을 대상으로 크기를 정의할 수 있다. 임의의 벡터 \( \vec{A} \)에 대해 이 벡터의 크기는 다음과 같이 표현한다.

$$ |\vec{A}| = A \tag{1}$$

 

문자 위의 화살표로 벡터를 표현했는데 크기는 그에 대응되는 어떤 스칼라(scalar)를 의미한다. 어떻게 구하는지는 좀 더 뒤에서 다뤄본다.

 

이 크기에 대해서는 노름(norm)이라고도 표현하며 \( || \vec{A} ||\)라는 기호로 표현한다.

 

 

2. 벡터의 성분(component)

 

유클리드 벡터에서는 크기와 방향으로 벡터를 얘기했었다. 크기는 위에서 다뤘고 이번엔 방향에 대해서 다뤄보자.

 

먼저 방향이란 내가 기준 혹은 기저(basis)를 어떻게 잡는가가 중요하다. 방향이란 것은 기준과 비교하는 행동이기 때문이다. 우리가 북과 남은 지구의 자전축과 적도를 기준으로 삼는다는 것을 상기해보자.

 

많은 경우 우리가 다루고자 하는 공간이 몇 차원(dimension)이냐에 따라서 성분의 개수를 다르게 잡는다. \( n \)차원의 경우 최소 \( n \)개의 기저가 있어야 문제 없이 벡터의 방향을 나타낼 수 있다. 물론 필요에 따라서 더 많이 잡을 수도 있지만 많은 경우는 복잡해지기만 한다.

 

특히 우리가 사는 세상의 공간은 3차원이라고 생각하기 때문에 우리는 3개의 방향을 잡으며 관습적으로 \( x \) 방향, \( y \) 방향, \( z \) 방향이나 \( i \) 방향, \( j \) 방향, \( k \)방향 또는 \( x_1 \) 방향, \( x_2 \) 방향, \( x_3 \) 방향 등으로 많이 표현한다.

 

대부분의 경우 서술한 3개의 방향이 동일하게 사용되며 그냥 자기들 편한대로 적당히 잡는다. 다시 말해서 기저를 어떻게 잡느냐는 전혀 중요하지 않다. 나도 아마 이것저것 많이 혼용하면서 사용할 것이다.

 

중요한 것은 기준을 잡으면 벡터를 해당 방향 성분 좌표(coordinate)로 표현할 수 있다는 점이다. \( \vec{A} \)를 성분으로 표현하면 다음과 같다.

$$ \vec{A} = \begin{pmatrix} A_x & A_y & A_z \end{pmatrix} \tag{2}$$

여기서 첨자는 각각의 방향을 의미한다.

 

벡터의 성분을 이용해서 벡터의 크기를 구할 수 있다. 유클리드 벡터에서 벡터의 크기는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 통해 정의된다.

$$ A = | \vec{A} | = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \tag{3}$$

 

혹은 \(n\)차원인 경우에 대해

$$ A = | \vec{A} | = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + \cdots A_n^2} \tag{4}$$

방향은 숫자로 표현했다.

 

 

3. 단위 벡터(unit vector)

 

이번에는 각각 방향에 대한 단위 길이(unit length)를 정의한다. 만약 8이라는 숫자만 주어진다면 이를 가지고 어떤 길이를 상상할 수는 없다.

 

하지만 여기에 단위인 미터(meter)를 붙혀서 8m라고 쓰면 그때서야 길이라는 인식을 할 수 있다. 8m는 우리가 약속한 미터라는 단위가 8개있는 길이를 의미한다.

 

단위 벡터는 방향에 따라서 \( \hat{x} \), \( \hat{y} \), \( \hat{z} \) 또는 \( \hat{i} \), \( \hat{j} \), \( \hat{k} \) 등으로 표현한다. 식 (2)에서 좌표로 표현한 벡터를 단위 벡터를 이용하면 다음과 같은 선형 결합(linear combination)으로 표현한다.

$$ \vec{A} = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z \tag{5}$$

 

단위 벡터의 정의는 다음과 같이 우리가 기준으로 삼고 싶은 방향의 벡터에 그 벡터의 크기를 나눈 형태로 주어진다.

$$ \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \tag{6}$$

 

사실 단위 벡터는 아무렇게나 잡아도 상관이 없다. 하지만 많은 경우 단위 벡터끼리 이루는 각이 직각(rectangle)이 되도록 잡는 것이 편하다.

 

 

5. 스칼라 곱(multiplication)

 

벡터를 정의하면서 벡터와 스칼라 간의 곱셈을 사용했었다. 이제 벡터의 성분을 이용해 스칼라 곱을 구하는 방법을 보자. \( a \in \mathbb{R} \)에 대해 다음과 같이 계산한다.

$$ a * \vec{A} = a *A_x \hat{x} + a * A_y \hat{y} + a * A_z \hat{z} = \begin{pmatrix} a A_x & a A_y & a A_z \end{pmatrix} \tag{7}$$

 

식 (7)에서와 같이 각각의 성분에 스칼라를 곱해서 계산이 가능하다.

 

여기까지 벡터를 사용할 때 사용하는 용어와 성질들을 정리해봤다. 다음에는 벡터와 벡터 사이의 연산은 어떻게 이루어지는가를 다룰 예정이다.