구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ② 방위각과 반지름 성분

 

지난번 글에서 구면 좌표계(spherical coordinate)에서의 라플라스 방정식(Laplace equation)을 변수 분리법(separation of variable)을 이용해 다음과 같은 방정식을 만들었었다.

$$ \frac{r^2 \sin^2 \theta}{U(r)} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{Q (\phi)} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0 \tag{1}$$

 

식 (1)을 보면 변수 $\theta$와 $r$은 서로 연관 관계가 있지만 $\phi$에 대한 항은 완벽하게 다른 변수 항과 독립되어 있음을 알 수 있다. 따라서 식 (1)은 다음과 같은 조건으로 분리가 된다.

$$\frac{r^2 \sin^2 \theta}{U(r)} \frac{\partial^2 U (r)}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{P (\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) = m^2 \tag{2}$$

$$\frac{1}{Q (\phi)} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = -m^2 \tag{3}$$

 

특별히 이렇게 분리하는 이유는 이렇게 분리했을 경우 식 (3)의 미분 방정식(differential equation)이 풀기 쉬운 형태로 주어지기 때문이다. 이 식은 다음과 같은 해를 가짐을 쉽게 알 수 있다.

$$Q (\phi) = e^{\pm i m \phi} \tag{4}$$

 

 

이번엔 구면 좌표계의 특징을 살펴보자. 어떤 물리적 상황이 있고 이를 외부에서 바라보는 관측자가 있다고 해보자. 이 관측자가 방위각(azimutal angle)을 한 바퀴 돌아왔다고 가정하자. 쉽게 말하자면 같은 위도(latitude)를 따라서 한바퀴 돌아 원래 자리로 돌아와보자.

 

이 경우 관측자가 바라보는 물리적 상황은 처음 상황과 똑같다. 즉, $\phi = 0$에서 출발해서 한 바퀴를 돌아 $\phi = 2 \pi$가 됐을 때 바라보는 상황, 즉 미분 방정식의 해는 같아야 한다. 따라서 다음과 같은 조건이 필요하다.

$$e^{\pm i 0 * m} = 1 = e^{\pm i 2\ pi m} \tag{5}$$

 

이 조건을 만족하기 위해서 임의적으로 도입한 $m$은 정수(integer number)여야 한다. 이럴 경우 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)은 방위각에 대한 주기 함수(periodic function)로 주어지기 때문에 $0 \leq m \leq 2\pi$여야 한다.

 

 

이번엔 남은 식 (2)를 살펴보자. 이 식은 양 변을 $\sin^2 \theta$로 나눈 다음 다음과 같이 정리해서 변수 $r$과 $\theta$에 대한 항들을 서로 독립적인 형태로 쓸 수 있다.

$$\frac{r^2}{U (r)} \frac{\partial^2 U (r)}{\partial r^2}  + \frac{1}{P (\theta) \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = 0 \tag{6}$$

 

아까 위에서 썻던 것과 비슷하게 이번에도 분리를 하면 되는데 이번에는 다음과 같이 식을 분리하는 것이 편하다고 알려져 있다.

$$\frac{r^2}{U(r)} \frac{\partial^2 U (r)}{\partial r^2} = l(l+1) \tag{7}$$

$$\frac{1}{P (\theta) \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = - l (l + 1) \tag{8}$$

 

 

 

반지름 성분(radial component) 식 (7)은 다음과 같이 써서 풀 수 있다.

$$\frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} - \frac{l (l+1)}{r^2} U(r) = 0 \tag{9}$$

 

식 (9)의 미분 방정식의 해는 다항 함수(polynomial function)의 형태로 주어진다. $U(r) = C r^n$이라고 가정해보자. 식 (9)에 대입하면 다음과 같다.

$$n (n-1) C r^{n-2} - l (l+1) C r^{n-2} = 0 \tag{10}$$

 

식 (10)은 다음 조건을 만족하면 항등식(identity)이 된다.

$$n (n-1) - l (l+1) = n^2 -n -l (l+1) = (n - (l+1))(n + l) = 0 \tag{11}$$

 

따라서 $n = l + 1$ 또는 $n = -l$의 값을 가진다. 최종적으로 이차 미분 방정식(second order differential equation)의 성질에 따라 $U(r)$은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

$$U(r) = A r^{l+1} + B r^{-l} \tag{12}$$

 

$m$의 경우와 달리 반지름 항은 아직까지 $l$에 대한 조건을 결정짓지 못한다. 사실 방위각 때와 마찬가지로 극각의 주기 조건(periodic condtion)이 조건을 결정짓는다.

 

그러나 극각 $\theta$에 대한 항 식 (8)은 풀기가 어렵기 때문에 다음 글에서 계속해서 이어가보자.