구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ① 변수 분리법

 

 

지난번 글에서 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)이 푸아송 방정식(Poisson's equation)을 만족함을 보였었다. 그와 동시에 전하 분포(charge distribution)의 바깥 공간에서 푸아송 방정식은 라플라스 방정식(Laplace equation)이 됐었다.

 

어떤 전하 분포가 멀리 떨어진 한 지점에서 만드는 스칼라 퍼텐셜은 라플라스 방정식을 이용해 구하는 경우가 많다. 특히 문제의 상황이 어떤 대칭성(symmetry)을 가지고 있는가에 따라 퍼텐셜의 형태가 결정되는데 우선 구면 좌표계(spherical coordinate)에서 먼저 다뤄보자.

 

최종적인 목표는 가장 일반적인 형태의 구면 대칭성(spherical symmetry)를 가진 시스템에서 라플라스 방정식의 일반해(general solution)을 구하고 문제의 조건에 맞는 경계 조건(boundary condtion)을 대입해 스칼라 퍼텐셜을 구해보는 것이다.

 

 

우선 구면 좌표계에서 라플라스 방정식은 다음과 같은 형태를 지니고 있다.

$$\nabla^2 \Phi (r, \theta, \phi) = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( r \Phi \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \sin \theta \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \right] + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} = 0 \tag{1}$$

 

식 (1)을 보면 상당히 복잡한 편미분 방정식(partial differential equation)이 주어졌다. 이러한 편미분 방정식을 푸는데 사용하는 방법중에 하나로 변수 분리법(separation of variable)이 존재한다. 구면 좌표계 편미분 방정식 경우 변수 분리법으로 다음과 같은 형태의 해를 도입한다.

$$\Phi (r, \theta, \phi) = \frac{U(r)}{r} P (\theta) Q (\phi) \tag{2}$$

 

식 (2)에서 보면 구면 좌표계의 각 변수들이 각자 다른 함수들의 곱셉(multiplication)으로 완벽하게 분리된 해를 가정한다. 수학적으로 볼때 식 (1)의 해가 반드시 식 (2)와 같이 주어진다고 보장할 수는 없다. 실제로 변수들이 더 복잡하게 얽혀있을 수 있다.

 

하지만 물리적으로 봤을 때 각각의 변수들은 다른 차원(dimension)을 가지고 있다. 쉽게 말해서 거리(distance)와 각도(angle)를 더한 형태의 해는 물리적으로 말이 되지 않는다. 각도와 거리를 더해봤자 서로 차원이 다르기 때문에 서로 더해지지도 않을뿐더러 더해 만들어지는 어떤 대상은 물리적인 의미를 가지지 못한다.

 

하지만 각도와 거리를 곱해서 만든 어떤 물리량은 실제 물리적 가치를 지니는 양이 된다. 원래 물리학에서 사용하는 물리량들은 여러 차원의 값들이 곱셈과 나눗셈(division)으로 연결되어 있다. 대표적으로 속도(velocity)의 경우 거리를 시간으로 나눈 값이다. 따라서 식 (2)와 같이 한정된 형태의 해가 물리적으로 의미를 가지는 해가 된다.

 

 

이제 식 (2)를 식 (1)에 대입해보자. 먼저 식이 길기 때문에 먼저 $r$에 대한 미분에 변수 분리한 해를 대입해서 식을 정리해보자.

$$\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left[ r \frac{U(r)}{r} P (\theta) Q (\phi) \right] = \frac{P (\theta) Q (\phi)}{r} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} \tag{3}$$

 

이번엔 $\theta$에 대한 미분에 대입해서 식을 정리해보자.

$$\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \sin \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{U(r)}{r} P (\theta) Q (\phi) \right) \right] = \frac{U (r) Q (\phi)}{r^3 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right] \tag{4}$$

 

마지막으로 $\phi$에 대한 미분에 대입한 뒤 식을 정리하자.

$$\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \left[ \frac{U(r)}{r} P (\theta) Q (\phi) \right] = \frac{U (r) P (\theta)}{r^3 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} \tag{5}$$

 

 

식 (3), (4), (5)를 전부 모으면 라플라스 방정식은 다음과 같은 형태가 된다.

$$\frac{P (\theta) Q (\phi)}{r} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{U (r) Q (\phi)}{r^3 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right] +  \frac{U (r) P (\theta)}{r^3 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0 \tag{6}$$

 

이제 마지막으로 식 (6)의 양변을 $\frac{r^3 \sin^2 \theta}{U(r) P(\theta) Q(\phi)}$로 나눠서 우선 $\phi$에 대한 식을 완전히 분리할 수 있다.

$$\frac{r^2 \sin^2 \theta}{U (r)} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{P (\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{Q (\phi)} \frac{\partial^2 Q (\phi)}{\partial \phi^2} = 0 \tag{7}$$

 

이제 식 (7)에 몇가지 물리적 조건을 추가해서 특정한 형태의 해를 찾아야 한다. 이에 대해선 다음글에서 계속해서 다뤄보도록 할 예정이다.