변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : Introduction

 

고전 역학(classical dynamics)을 기술하는 방식에는 그 관점에 따라 3가지 방법이 존재한다. 첫 번째가 지난 몇 글에서 다뤘던 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)이었다.

 

한동안은 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)라는 고전 역학의 다른 방법론을 얘기해보려고 한다.

 

또다른 역학 방식을 만든 가장 큰 이유는 전개 방식에서 철학이 다르기 때문이다. 뉴턴(Newton)의 방식이나 라그랑주(Lagrange)의 방식 모두 동일한 결과를 생산해내지만 이론을 구성하는데 있어서 철학이 다르다.

 

지난 뉴턴의 운동 법칙 글에서는 그 점을 중점적으로 바라봤었는데 이번에는 라그랑주 역학의 철학이 어떻게 되는지 탐구해본다.

 

 

가장 중요한 아이디어는 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)로 자연은 항상 어떤 물리적인 과정을 거칠때 그때 중요하게 다뤄지는 물리량이 최소화 된다는 원리이다. 좀 더 일상적인 언어로 표현하자면 자연은 가장 효율좋은 방식으로 흘러간다.

 

좀 더 구체적인 예시를 보자면 빛의 반사(reflection)와 굴절(refraction)이 있다. 빛이 거울면에 반사되면 입사각(incidence angle)과 반사각(reflection angle)은 정확히 일치하는데 이는 빛이 자신이 지날 수 있는 경로 중 가장 소모 시간이 짧은 경로로 진행하기 때문이다.

 

 

다음 그림과 같은 상황을 가정해보자. 지금과 같은  일반적인 반사 상황에 대해서 빛이 운동하는데 드는 시간을 최소화 한다는 원리를 사용해보자.

 

먼저 빛의 속도(velocity)가 일정하다면 그리고 그 속도를 \(c\)라고 해버리면 빛이 A에서 출발해 B에 도달하는데 걸리는 시간은 전체 빛이 가는 경로를 속도라 나눠서 구할 수 있다.

$$ t = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c} \tag{1}$$

 

지금 소모 시간이 변수 \( x \)에 대한 함수로 주어졌다. 소모 시간이 최소가 된다는 뜻은 이 함수의 최솟값(minumum)이란 뜻이고 최솟값이 되는 \( x \)가 실제 빛이 반사되는 위치에 해당한다. 따라서 최솟값을 미분을 이용해서 구해보자.

 

시간에 대한 그래프, \(x\)를 제외한 다른 변수는 1로 처리함

실제로 그래프의 개형을 보면 극소(local minimum)에서 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있다. 따라서 미분해서 \(0\)이 되는 \( x \)를 찾으면

$$ 0 = \frac{dt}{dx} = \frac{1}{c} \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{1}{c} \frac{(x-d)}{\sqrt{(d-x)^2 + b^2}} \tag{2}$$

 

이 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \frac{(d-x)}{\sqrt{(d-x)^2 + b^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \tag{3}$$

 

그런데 식 (3)에서 좌변은 \( \sin{\theta}_r \)이고 우변은 \( \sin{\theta}_i \)가 됨을 그림을 통해 기하학적으로 유추할 수 있다. 따라서 입사각과 반사각이 같음을 알 수 있다.

 

비슷한 방식으로 굴절에 대해서도 구할 수 있지만 굴절에 대한 법칙은 다음으로 미뤄두겠다.

 

 

이런식으로 빛이 최소 시간이 드는 경로를 찾아가는 원리를 페르마의 원리(Fermat's principle)이라고 한다. 심지어 지금과 같이 어떤 값을 최소화하는 경로를 따른다는 것은 빛에만 국한된 얘기가 아니다.

 

가장 유명한 문제는 최단 강하 곡선(Brachistochrone) 문제가 있다. 중력이 작용해 물체가 낙하하는 경우 어떤 경로를 그리며 낙하하는 편이 가장 빠를까? 라는 문제에 해당한다. 워낙 유명하고 중요한 문제라 이 문제는 증명하는 글을 따로 남길 것이다.

 

가장 중요한 것은 어떤 상황에 대한 함수를 쓸 수 있다면 자연은 그 함수를 최소화 하는 경로를 따라 운동한다는 점이다. 특히 해밀턴(Hamilton)은 실제 벌어지는 운동은 '작용'(action)이라는 어떤 양을 최소화하는 방향으로 이루어진다고 주장했다. 이를 최소 작용의 원리(principle of least action)이라고 한다.

 

 

윌리엄 로윈 해밀턴

해밀턴이 논문에서 한 언급은 다음과 같다.

특정 시간 간격에서 두 점을 따라 움직이는 역학계에서 모든 가능한 경로 중 실제 경로는 운동 에너지(kinetic energy)와 퍼텐셜 에너지(potential) 차이의 시간 적분을 최소화 하는 경로를 따른다.

 

다시 말해서 다음 식을 최소화하는 경로를 다라간다는 의미이다. 여기서 \(S\)가 바로 작용을 의미한다.

$$ S = \int^{t_2}_{t_1} (T - V) dt \tag{4}$$

 

이제 문제는 '이 작용을 어떻게 최소화할까?'이다. 이를 만드는 수학적 원리가 바로 변분법(variational calculus)이다. 다음 글에서 최단 강하 곡선 문제를 보고 바로 변분법을 통해 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도할 계획이다.