Introduction : 훅의 법칙과 유도

 

이번에는 이론 물리학자의 영원한 장난감인 조화 진동자(harmonic oscillator)를 다루기 이전에 앞서 훅의 법칙(Hooke's law)를 유도해보려고 한다.

 

먼저 훅의 법칙을 유도하기에 앞서 몇 가지 가정을 도입해야 한다. 먼저 입자는 1차원에 갇혀서 운동하는 경우이다. 훅의 법칙을 다차원에서 텐서(tensor)를 이용해서 일반화 시킬 수도 있지만 1차원 문제에 비해 큰 물리적 의미를 찾기 어렵고 자주 사용되지도 않기 때문에 이번 글에서는 1차원 문제로만 다뤄도 충분하다.

 

두 번째 가정은 입자가 평형 상태(equilibrium)인 점이 존재해서 우리는 이 점을 원점(origin)으로 잡을 것이란 점이다. 이 점에서 입자는 움직이지 않는다.

 

 

이제 만약 외부에서 힘을 가해서 입자의 위치를 원점에서 살짝 이동시켜보자. 외부에서 가한 힘을 없앨 경우 입자는 평형 상태가 아니기 때문에 다시 평형 상태로 가려고 한다.

 

평형 상태로 돌아가려면 물체의 운동에 변화가 있어야 하고 이는 어떤 평형 상태를 유지하려는 힘으로 표현 가능함을 암시한다. 이러한 힘을 복원력(restoring force)라고 부른다.

 

이러한 복원력은 변위(displacement)에 대한 함수로 주어지며 다양한 형태를 가질 수 있다. 하지만 결국 평형점(equilibrium point)에 돌아올 경우 복원력은 사라진다. 복원력을 $F (x)$라 하면 이 조건은 다음과 같이 표현된다.

$$F(x=0) = 0 \tag{1}$$

 

여기서 우리는 복원력에 대해 몇 가지 가정을 더 추가해야 하는데 첫 번째는 복원력이 오로지 변위에 대한 함수라고 가정하는 것이다.

 

첫 번째 가정을 기반으로 두 번째 가정은 복원력 $F(x)$의 모든 $n$차 미분(n-th order derivatives)이 존재한다는 가정이다. 이 경우 복원력은 다음과 같이 원점 인근에서 테일러 전개(Taylor expansion)가 가능하다.

$$F(x) = F(0) + \left( \frac{d F(x)}{dx} \right)_{x=0} x + \frac{1}{2!} \left( \frac{d^2 F(x)}{dx^2} \right)_{x=0} x^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{d^3 F(x)}{dx^3} \right)_{x=0} x^3 + \cdots \tag{2}$$

 

테일러 전개를 한다는 의미는 평형점에서 멀어진 변위 $x$가 충분히 작은 경우를 가정한 것이다. 만약 그렇지 못하다면 식 (2)와 같은 전개는 원래 식과 전혀 맞지 않는 결과를 준다. 항상 테일러 전개의 가정을 조심하자.

 

로버트 훅

 

 

변위 $x$가 충분히 작기 때문에 식 (2)에서 $x^2$ 이상의 식은 충분히 작으므로 무시할 수 있다고하자. 그렇다면 식 (1)과 결합해서 식 (2)는 다음과 같이 변한다.

$$F(x) \approx \left( \frac{d F(x)}{dx} \right)_{x=0} x = - k x \tag{3}$$

 

이때 새롭게 정의된 상수 $k$는 다음과 같다.

$$k = -\left( \frac{d F(x)}{dx} \right)_{x=0} \tag{4}$$

 

복원력은 평형점에서 멀어질 경우 평형점에서 돌아가려는 힘이기 때문에 항상 평형점을 바라보는 방향으로 작용한다. 이는 식 (4)에 있는 $F(x)$의 미분이 항상 음수 값을 준다는 의미가 된다.

 

쉽게 풀어쓰자면 어떤 물체의 운동 방향에 대해, 즉 평형점에서 이동한 방향에 대해 복원력은 항상 정반대 방향으로 작용하기 때문에 $(-)$를 붙힌다고 생각할 수 있다.

 

이를 기반으로 생각하면 상수 $k$는 항상 양수값을 가져야 한다.

 

테일러 전개를 통해 얻은 식 (3)의 형태는 어떤 임의의 복원력은 변위에 대한 선형 함수(linear function)으로 근사(approximation)이 가능하다는 점이다.

 

이렇게 복원력을 근사해 얻은 식을 훅의 법칙이라고 부른다.