스칼라 퍼텐셜(전위)과 전기장이 한 일 그리고 전압

 

이번에는 정전기학(electrostatistics)을 다루는데 있어서 아주 유용한 도구인 스칼라 퍼텐셜(scalar potential) 또는 전위(electric potential)에 대해 다뤄보려고 한다.

 

역사적으로 스칼라 퍼텐셜은 맥스웰(Maxwell)이 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)을 간단한 형태로 바꾸기 위해서 도입했었다.

 

실제로 4개의 맥스웰 방정식은 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜(vector potential)이라는 함수를 도입하면 2개의 방정식으로 간결하게 나타난다.

 

또한 이러한 이론 체계는 특수 상대성 이론(special relativity)를 간단하게 표현하는데 큰 도움이 되는 것으로 알려져있다. 특히 라그랑주 역학(Lagrangian dynamics)를 이용해서 전자기학을 전개할 때는 거의 대부분 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜을 응용한다.

 

제임스 클라크 맥스웰

 

스칼라 퍼텐셜을 구하기 위해 먼저 다음과 같은 미분(derivative)을 생각해봐야 한다.

$$ \begin{split} \vec{\nabla} \left( \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} \right) = & \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x^{\prime})^2 + (y - y^{\prime})^2 + (z - z^{\prime})^2}} \right) \hat{x} \\ & + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x^{\prime})^2 + (y - y^{\prime})^2 + (z - z^{\prime})^2}} \right) \hat{y} \\ & + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x^{\prime})^2 + (y - y^{\prime})^2 + (z - z^{\prime})^2}} \right) \hat{z} \end{split} \tag{1}$$

 

$x$방향의 미분과 나머지 방향의 미분은 전부 같은 형태를 지니고 있기 때문에 $x$방향의 미분만 계산한 다음 변수를 바꿔주자.

$$ \begin{split} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x^{\prime})^2 + (y - y^{\prime})^2 + (z - z^{\prime})^2}} \right) = & - \frac{(x - x^{\prime})}{\left( (x - x^{\prime})^2 + (y - y^{\prime})^2 + (z - z^{\prime})^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ = & - \frac{(x - x^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|^3} \end{split} \tag{2}$$

 

$$\vec{\nabla} \left( \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} \right) = - \frac{(x - x^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|^3} \hat{x} - \frac{(y - y^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|^3} \hat{y} - \frac{(z - z^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|^3} \hat{z} = -\frac{\vec{r} - \vec{r}^{\prime}}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|^3}  \tag{3}$$

 

식 (3)에서 마지막으로 얻은 식과 전기장(electric field)의 정의와 비교해보자.

$$\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int _{V^{\prime}} \rho (\vec{r}^{\prime}) \frac{(\vec{r} - \vec{r}^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|^3} \; d V^{\prime} \tag{4}$$

 

식 (4)에 식 (3)을 곧대로 대입한다음 적분(integral)은 $\vec{r}^{\prime}$ 좌표계(coordinate)에서의 적분이고 미분은 $\vec{r}$ 좌표계에서의 미분이기 때문에 서로 완벽히 독립된 좌표계의 연산이므로 서로 교환 가능(commutable)하다는 점을 응용해서 정리해보자.

$$\vec{E} (\vec{r}) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int _{V^{\prime}} \rho(\vec{r}^{\prime}) \vec{\nabla} \left( \frac{1}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|} \right) \; d V^{\prime} = \vec{\nabla} \left( -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} \frac{\rho (\vec{r}^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|} \; d V^{\prime} \right) \tag{5}$$

 

 

식 (5)에서 마지막 식을 살펴보자. 잘보면 해당 식은 위치 벡터(position vector)를 변수로 가지는 스칼라 함수(scalar function)임을 알 수 있다. 전기장의 모든 방향에 대한 정보는 기울기 연산자(gradient operator) 안으로 흡수되어 있다.

 

더욱이 적분을 살펴보면 $\vec{r}^{\prime}$ 좌표 내에서 주어진 전하 밀도(charge density)의 전체 부피에 대한 적분인데 이는 이 적분이 정적분(definite integral)임을 암시한다.

 

따라서 적분의 결과물은 어떤 상수값을 줄 것이다. 지금의 방정식이 일반화된 방정식이기 때문에 구체적인 값을 주지 못하는 것뿐이지 헷갈리지 말자. 따라서 기울기 연산자 안의 함수는 오직 $\vec{r}$에 대한 함수로 주어진다.

 

우리는 다음과 같은 함수를 정의하고 스칼라 함수로 이루어져있기 때문에 이를 스칼라 퍼텐셜이라고 부른다.

$$\Phi (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} \frac{\rho (\vec{r}^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|} \; d V^{\prime} \tag{6}$$

저자에 따라서는 스칼라 퍼텐셜을 전위라고 부르며 $V (\vec{r})$로 표현하기도 한다.

 

어차피 전하 밀도의 정의에 의해 전하가 없는 부분은 $\rho = 0$이기 때문에 적분 공간은 전체 공간으로 확장시켜도 같은 값을 줄 수 있어 다음과 같이 첨자를 떼고 표현하자.

$$\Phi (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho (\vec{r}^{\prime})}{\left| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \right|} \; d V^{\prime} \tag{7}$$

 

식 (7)과 같은 표현을 사용해도 항상 적분은 정적분임을 기억하자. 실제로 사람마다 다양하게 표현하지만 결국 스칼라 퍼텐셜이 내포하고 있는 개념은 항상 동일하다.

 

 

식 (7)을 식 (5)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다

$$\vec{E} (\vec{r}) = - \vec{\nabla} \Phi (\vec{r}) \tag{8}$$

 

그렇다면 식 (8)에서 바로 알 수 있듯이 상수 미분(constant derivative)의 성질에 의해 스칼라 퍼텐셜에 어떤 임의의 퍼텐셜 $\Phi_0$를 더한다고 하더라도 동일한 전기장을 계속해서 생산함을 알 수 있다.

$$\vec{E} (\vec{r}) = - \vec{\nabla} \left( \Phi (\vec{r}) + \Phi_0 \right) = - \vec{\nabla} \Phi (\vec{r}) \tag{9}$$

 

이 성질은 물리학에서 아주 중요하게 작용하는데 나중에 시간과 자기장(magnetic field)까지 다루는 전자기학을 다룰 경우 $\frac{\partial \lambda}{\partial t}$ 형태의 함수가 더해져도 된다는 조건으로 변화하게 된다.

 

이런식으로 스칼라 퍼텐셜에 특정한 형태의 함수를 더하는 것을 게이지 변환(gauge transformation)이라고 부르며 전기장이 이러한 변환에 대해 영향을 받지 않는 성질을 게이지 불변성(gauge invariant)라고 부른다. 이에 대해선 차차 알아나가보자.

 

 

스칼라 퍼텐셜의 물리적 의미를 해석하기 위해서 전기력(electric force)의 일(work)을 생각해보자. 전기장 $\vec{E}$ 아래에서 전하량(charge)이 $q$인 입자가 $r_1$에서 $r_2$까지 이동하는 경우 입자가 받는 힘과 일은 다음과 같다.

$$\vec{F} = q \vec{E} \tag{10}$$

$$W = -\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot \; d \vec{l} = -q \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{E} \cdot \; d \vec{l} \tag{11}$$

이때 $(-)$ 부호는 전기장을 거슬러감을 의미한다.

 

이제 식 (8)을 식 (11)에 대입해보자.

$$W = q \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{\nabla} \Phi (\vec{r}) \cdot \; d \vec{l} \tag{12}$$

 

선적분(line integral)의 성질에 의해서 식 (12)는 다음과 같이 정리된다.

$$W = q \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} d \Phi(\vec{r}) = q \left( \Phi (\vec{r}_2) - \Phi (\vec{r}_1) \right) \tag{13}$$

 

즉, $\vec{r}_1$에서 $\vec{r}_2$로 전기장을 거슬러 이동하는데 필요한 일은 두 지점의 스칼라 퍼텐셜의 차이에 비례한다. 이를 앞선 식들을 응용해서 다음과 같이 표현해보자.

$$\int_{\vec{r_1}}^{\vec{r}_2} \vec{E} \cdot \; d \vec{l} = - \left( \Phi (\vec{r}_2) - \Phi (\vec{r}_1) \right) \tag{14}$$

 

식 (14)에서 전기장의 선적분은 두 지점의 전위차(electric potential difference) 또는 전압(voltage)으로 표현됨을 알 수 있다. 즉, 우리가 전압이라고 부르는 대상은 두 지점의 스칼라 퍼텐셜 차이를 의미한다.

 

 

그렇다면 전하가 닫힌 곡선(closed loop)를 따라 움직인다면 어떻게 될까? 이는 $\vec{r}_1 = \vec{r}_2$를 의미하는 것이며 당연하게도 전기장의 선적분은 $0$이 된다.

$$\oint \vec{E} \cdot \; d \vec{l} = - \left( \Phi (\vec{r}_1) - \Phi (\vec{r}_1) \right) = 0 \tag{15}$$

 

이 결과는 사실 지난 글에서 쿨롱 법칙(Coulomb's law)를 직접 선적분해서 얻기도 했었다. 마찬가지로 스토크스 정리(Stokes' theorem)을 응용하면 $\nabla \times \vec{E} = 0$이란 결과를 얻을 수 있는데 스칼라 퍼텐셜을 이용한 방법이 상대적으로 더 쉽게 접근이 가능하다.

 

 

전기력과 전기장...장이란?

전기장의 발산과 회전 - 발산 정리와 스토크스 정리의 응용