2차원 등가속도 직선 운동 - 라그랑지안 풀이

 

이번엔 지난번에 다뤘던 2차원 등가속도 직서 운동(linear motion with constant acceleration) 문제를 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)를 이용해 다루는 방법을 얘기해보려고 한다.

 

지난번 문제의 상황과 완전히 동일하고 결과도 같기 때문에 딱히 새로울 내용은 없다. 오히려 두 역학이 서로 다른 결과를 줬으면 둘 중 하나는 틀린 것이기에 더 큰 문제가 됐을 것이다.

 

그러나 실제로 그런 일은 일어나지 않았고 이번엔 라그랑지안(Lagrangian)을 어떻게 사용하는가에 대한 예시로 받아들이면 좋다.

 

 

먼저 물체의 운동 에너지(kinetic energy)를 구해보자. 속력(speed)과 각각의 속도 벡터(velocity vector) 사이의 관계 \( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)을 이용하면 다음과 같다.

$$ T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_x^2 + \frac{1}{2} m v_y^2 \tag{1}$$

 

그다음 이 물체가 받는 퍼텐셜 에너지(potential energy)는 물체가 중력(gravitation)의 영향만 받는다고 했기 때문에 다음과 같이 중력 퍼텐셜 에너지만 고려한다.

$$ V = m g y \tag{2}$$

 

이제 식 (1)과 식 (2)를 이용해서 라그랑지안을 써보자.

$$ L = T - V = \frac{1}{2} m v_x^2 + \frac{1}{2} m v_y^2 - m g y \tag{3}$$

 

 

이제 식 (3)에서 구한 라그랑지안을 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)에 대입해보자. 이때 물체에 작용하는 제약 조건(constraint condtion)이 없기 때문에 일반화 좌표는 \( x \) 좌표와 \( y \) 좌표면 충분하다. 먼저 각 방향에 대해 2개의 독립적인 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x} } \right) = 0 \tag{4}$$

$$\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y} } \right) = 0 \tag{5}$$

 

여기서 우리는 식 (3)에서 라그랑지안의 구성이 \( x \)와 \( y \) 좌표 그리고 \( x \) 방향 속도 \( v_x = \dot{x} \)와 \( y \) 방향 속도 \( v_y = \dot{y} \)로 이루어진 범함수(functional)임을 이용해 오일러-라그랑주 방정식을 구했다. 또한 이 범함수의 변수들은 전부 시간 \( t \)의 함수로 쓰여져 있다는 사실을 이용했다.

 

먼저 식 (4)를 계산해보자. 라그랑지안에 \( x \) 좌표에 의존하는 항이 없으므로 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.
$$ \frac{d}{dt} \left( m \dot{x} \right) = m \ddot{x} = 0 \tag{6}$$

 

실제로 식 (6)은 우리가 뉴턴 역학(Newtonian dynamics)를 이용해서 문제를 풀 때 \( x \) 방향 힘이 없다고 분석한 결과와 동일함을 알 수 있다.

 

이번엔 식 (5)를 계산해보자. 이 경우는 다음과 같이 \( y \) 방향으로는 중력이 알짜힘(net force)으로 작용하는 분석이 똑같이 나옴을 알 수 있다.

$$ - mg - \frac{d}{dt} \left( m \dot{y} \right) = -mg - m \ddot{y} = 0 \tag{7}$$

$$ \therefore m \ddot{y} = - mg \tag{8}$$

 

 

식 (8)과 식 (6)을 보면 라그랑지안을 세우고 오일러-라그랑주 방정식에 넣은 결과가 뉴턴 역학과 완전히 동등한 운동 방정식(equation of motion)을 만들어냈음을 알 수 있다.

 

이제 마찬가지로 적분(integral)을 이용해 좌표와 속도를 구하면 된다. 뉴턴 역학에서와 동일한 초기 조건(initial condition)을 설정해서 문제를 풀어주면 된다.

 

이 결과만 놓고 본다면 딱히 라그랑지안의 특별한 메리트를 보기는 어렵다. 이는 지금 다루는 등가속도 직선 운동 문제가 힘을 분석하기 쉽기 때문에 큰 이점을 얻지 못한다.

 

하지만 힘을 분석하기가 어려운 경우에는 뉴턴 제 2법칙(Newton's 2nd law)을 제대로 세우기가 어렵다. 기본적으로 뉴턴 역학은 문제를 푸는 사람이 각 방향에 대한 알짜힘(net force)을 분석해야 하기 때문이다.

 

하지만 라그랑지안을 이용하면 우리는 방향과 같은 복잡한 요소를 신경쓰지 않고 단지 에너지들을 이용해서 라그랑지안을 세우고 제약 조건에 맞는 일반화 좌표만 설정한다면 나머지는 오일러-라그랑주 방정식이 알아서 운동 방정식을 세워준다.

 

생각보다 라그랑지안을 이용하는 방법은 문제를 쉽게 만들어준다는 사실이 알려져 있으며 상황에 맞춰서 뉴턴 역학과 번갈아가며 사용할 수 있는 유용한 도구로 사용 가능하다.

 

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