연속 전하 분포 응용 : 원형 도선과 판 문제

이번에는 연속 전하 분포(continuous charge distribution)를 응용해서 전하(charge)를 띤 원형으로 말은 도선과 원형 판이 만들어내는 전기장(electric field)을 구해보도록 하자.

 

먼저 원형 도선의 경우를 생각해보자. 원형 도선의 중심을 원점으로 잡고 원형 도선이 있는 평면을 \(xy\) 평면이라고 하자. 그러면 우리는 원점에서 \( z \) 방향으로 \( L \)만큼 떨어진 지점 \( P \)의 전기장을 구할 수 있다.

 

원형 도선의 경우 전하는 선의 모양으로 분포되어 있기 때문에 선 전하 밀도(charge density)를 이용해서 전기장을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\lambda}{s^2} \hat{s} \; d l \tag{1}$$

여기서 \(\vec{s}\)는 원형 도선 위의 한 점에서 \( P \)까지의 위치 벡터를 나타낸다.

 

 

도선의 전하들이 고르게 분포한 경우를 가정하면 \( \lambda \)는 상수(constant)가 되며 도선이 원형이므로 미소(infinitesimal) 길이는 원호(arc)의 길이 공식을 이용해서 \( dl = r d \theta \)가 된다.

 

이번엔 원 위에 한 점에서 \( P \)까지의 거리 \( s \)를 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)을 이용해서 구할 수 있다.

$$ s^2 = r^2 + L^2 \tag{2}$$

 

마지막으로 \( \vec{s} \)의 단위 벡터(unit vector)는 \( \vec{s} = \vec{z} - \vec{r}\)인 관계식과 단위 벡터의 정의를 이용해서 구할 수 있다.

$$\hat{s} = \frac{\vec{s}}{s} = \frac{\vec{z} - \vec{r}}{\sqrt{r^2 + L^2}} = \frac{L \hat{z} - r \hat{r}}{\sqrt{r^2 + L^2}}\tag{3}$$

 

그런데 원형 도선을 따라 한 바퀴 적분하면 반지름 방향 성분은 대칭성(symmetry)에 의해서 서로 상쇄함을 알 수 있다. 따라서 식 (3)에서 \( \hat{z} \)방향 성분만 남는다.

 

 

최종적인 전기장 공식은 다음과 같다.

$$ \vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\lambda L }{ (r^2 + L^2)^{\frac{3}{2}}} r \hat{z} \; d \theta \tag{4}$$

 

한 바퀴에 대한 각도 적분을 빼면 나머지는 전부 상수항이다. 각도에 의존하는 함수가 아니다. 따라서 전기장은 다음과 같다.

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda L 2 \pi r}{(r^2 + L^2)^{\frac{3}{2}}} \hat{z} = \frac{1}{2 \epsilon_0} \frac{\lambda L r}{(r^2 + L^2)^{\frac{3}{2}}} \hat{z} \tag{5}$$

 

 

이번엔 원형 판의 문제를 풀어보자. 문제의 상황은 위의 고리와 동일하다고 하자. 그래서 많은 부분이 똑같으나 이번엔 전하 밀도를 면 전하 밀도로 바꿔야 하며 반지름은 고정된 상수가 아닌 변수다.

 

원판의 면적 공식을 통해서 다음과 같이 미소 면적을 구할 수 있다.

$$ dA = r \; dr d \theta \tag{6}$$

 

원판의 반지름을 \( R \)이라고 하면 다음과 같이 전기장 공식을 쓸 수 있다.

$$ \vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int^R_0 \int^{2\pi}_0 \frac{\sigma L}{(L^2 + r^2)^{\frac{3}{2}}} r \hat{z} \; dr d \theta = \frac{\sigma L}{2 \epsilon_0} \int^R_0 \frac{r}{(r^2 + L^2)} \; dr \hat{z} \tag{7}$$

 

 

원형 판이기 때문에 반지름에 대한 적분이 남았음을 알 수 있다. 이 적분은 간단한 치환 적분(integration by substitution)을 통해서 구할 수 있다.

$$r = L \tan x \tag{8}$$

$$ R = L \tan x^{\prime} \tag{9}$$

식 (9)는 치환 적분에서 적분 범위를 위해서 정의한 값이다.

 

반지름 방향 적분만 따로 진행해보자.

$$\int^R_0 \frac{r}{(r^2 + L^2)^{\frac{3}{2}}} \; dr = \int^{x^{\prime}}_0 \frac{L \tan x}{L^3 \frac{1}{\cos^3 x}} \frac{L}{\cos^2 x} \; dx = \frac{1}{L} \int^{x^{\prime}}_0 \sin x \; dx \tag{10}$$

 

식 (10)을 만들어내기 위해서 다음과 같은 공식들을 사용했다.

$$ 1 + \tan x = \frac{1}{\cos^2 x} \tag{11}$$

$$ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x} \tag{12}$$

 

이제 식 (10)의 마지막 적분을 계산한 다음 \( x^{\prime} \)에 대한 식을 식 (9)와 식 (11)을 응용해서 다시 \( R \)과 \( L \)에 대한 식으로 바꾼다.

$$\int^R_0 \frac{r}{(r^2 + L^2)^{\frac{3}{2}}} \; dr = \frac{1}{L} \left. (-\cos x) \right|^{x = x^{\prime}}_0 = \frac{1}{L} (1 - \cos x^{\prime}) \tag{13}$$

$$ \cos x^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x^{\prime}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{R^2}{L^2}}} = \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} \tag{14}$$

$$\therefore \int^R_0 \frac{r}{(r^2 + L^2)^{\frac{3}{2}}} \; dr = \frac{1}{L} - \frac{1}{\sqrt{L^2 + R^2}} \tag{15}$$

 

식 (15)를 식 (7)에 대입해서 전기장을 구할 수 있다.

$$ \vec{E} = \frac{\sigma L}{2 \epsilon_0} \left( \frac{1}{L} - \frac{1}{\sqrt{L^2 + R^2}} \right) \hat{z} \tag{16}$$

 

연속 전하 분포와 직선 도선 예제

 

가우스 법칙의 유도

전기력과 전기장...장이란?