가우스 법칙의 응용 - 균일한 구의 전기장

 

이번 글에서는 가우스 법칙(Gauss' law)의 응용 사례로 가장 대표적인 균일한 전하 분포(charge distribution)를 가지는 대전된 구(sphere)가 만들어내는 전기장(electric field)을 구하려고 한다.

 

먼저 구의 반지름(radius)은 $R$이며 구체의 총 전하(total charge)는 $Q$라고 설정하고 문제를 풀자.

 

가우스 법칙을 적용하기 위해선 먼저 가우스 곡면(Gauss surface)을 설정해야 한다. 가우스 곡면의 설정은 어떻게 잡아도 상관 없다. 따라서 괜히 어려운 문제를 풀지 않기 위해서 최대한 간단한 형태의 가우스 곡면을 잡자.

 

이번 문제의 경우 구의 중심에서부터 $R_0$만큼 떨어진 구면을 가우스 곡면으로 잡는 것이 경험적으로 편하다고 알려져 있다. 다르게 잡아도 상관 없지만 문제가 매우 어려워진다.

 

 

먼저 $R_0 > R$인 경우부터 살펴보자. 이때 가우스 곡면 안에 있는 대전된 구의 전하량 $Q$가 전부 들어가 있다. 따라서 가우스 법칙은 다음과 같이 쓰여진다.

$$\int_S \vec{E} \cdot \hat{n} \; da = \frac{Q}{\epsilon_0} \tag{1}$$

 

이제 좌변의 전기장에 대한 적분(integral)을 해결해보자. 먼저 가우스 곡면을 구면으로 잡았기 때문에 곡면의 수직 벡터(normal vector) $\hat{n}$은 반지름 방향의 단위 벡터(unit vector)라고 할 수 있다.

$$\hat{n} = \hat{r} \tag{2}$$

 

이렇게 된다면 전기장과 방향 벡터의 내적은 전기장의 성분 중에서 반지름 방향의 사영(projection)이라고 볼 수 있다. 다시 말해서 반지름 방향의 성분만 뽑아낸다.

 

거기다 완벽한 구면을 가정했고 전하가 균일하게 분포했다고 가정했기 때문에 이 문제의 상황은 어떻게 돌려서 상황을 바라봐도 매번 똑같은 문제가 된다. 이를 회전 대칭성(rotational symmetry)가 있다고 한다.

 

우리의 문제는 구체를 구의 중심에다 고정시켜놓고 살짝 돌려서 본다고 하더라도 이전 상황과 모든것이 완벽하게 일치한다는 뜻이다. 다시 말해 전기장은 각도에 의존하는 함수(function)가 아니며 반지름에만 의존한다.

$$\vec{E} = \vec{E}(r) \tag{3}$$

 

현재 우리가 구하고자 하는 문제는 가우스 곡면 위에서의 전기장을 구하는 것이다. 가우스 곡면을 구로 잡았기 때문에 가우스 곡면 위의 어떤 점을 잡던지간에 전기장의 세기는 항상 같다. 따라서 다음과 같이 설정하자.

$$\vec{E}(R_0) = E_0 \hat{r} \tag{4}$$

 

 

지금까지 구한 결과를 식 (1)에 넣어보자.

$$\int_S E_0 \; da = E_0 \int_S \; d a = \frac{Q}{\epsilon_0} \tag{5}$$

 

전기장의 값이 현재 상수이기 때문에 적분 바깥으로 나올 수 있었고 남은 적분은 구면에 대한 면적을 구하는 적분에 해당한다. 구면의 면적 공식 $A = 4\pi R_0^2$을 이용하자.

$$E_0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{R_0^2} \tag{6}$$

 

최종적으로 구 바깥에서의 전기장은 다음과 같이 주어진다.

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r} \tag{7}$$

 

 

이번에는 구 내부에 가우스 곡면을 잡아보자. $R_0 < R$을 의미한다. 이번에도 마찬가지로 가우스 곡면의 중심과 구의 중심은 일치한다.

 

이 문제의 경우 가우스 곡면 내부의 전하량은 $Q$보다 좀 더 작다. 먼저 전하 밀도(charge density)를 생각해보자.

$$\rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi R^3} \tag{8}$$

우리가 균일한 구를 가정했기 때문에 전하 밀도는 구 어디에서나 동일하다.

 

가우스 곡면 안에 전하 밀도가 꽉 차있기 때문에 가우스 곡면 내부의 전하량 $Q^{\prime}$은 다음과 같이 주어진다.

$$Q^{\prime} = \frac{4}{3} \pi R_0^3 \rho = \frac{R_0^3}{R^3} Q \tag{9}$$

 

이제 이후는 아까와 똑같이 문제를 풀면 되고 여기서는 식 (6)을 그대로 사용해보자. 다만 이때 전하량은 $Q$가 아닌 $Q^{\prime}$으로 잡아야 한다.

$$E_0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^{\prime}}{R_0^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{R_0}{R^3} Q \tag{10}$$

 

따라서 전기장은 다음과 같이 주어진다.

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{R^3} r \hat{r} \tag{11}$$

 

 

식 (7)의 결과를 보면 구 바깥에서의 전기장은 거리의 제곱에 반비례한다. 그러나 구 내부에서의 전기장은 거리에 비례하는 일차 함수(linear function)로 주어짐을 알 수 있다.

 

전기장이 서로 다른 함수를 따르지만 구면에서의 전기장을 보면 서로 같음을 알 수 있다.

$$\vec{E} (R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{R^2} \hat{r} \tag{12}$$

 

이는 전기장이 연속 함수(continuous function)이 된다는 것을 의미한다. 구면 내부는 구가 있는 물질이고 구면 외부는 진공이다. 하지만 전자기의 문제는 물질과 진공의 경계면에서 항상 장은 연속 함수여야 한다.

 

이번 문제는 완벽한 구면 대칭성을 가정해 문제가 쉽게 끝났지만 다른 문제에서는 적분 과정에서 미정 계수(undetermined coefficient)가 등장하는 경우가 있다.

 

그때는 지금처럼 경계에서 장이 연속(continuous)이어야 한다는 경계 조건(boundary condition)을 이용해서 문제를 풀어야 한다.

 

이번 문제에서 전기장이 거리에 대한 함수로 주어지기 때문에 이 그래프는 위 같이 주어진다. 이때 전기장이 연속 함수이지만 미분(differential)은 불가능한 점에 주의하자.

 

가우스 법칙의 유도

 

전기력과 전기장...장이란?