가우스 법칙의 유도

지난번에 단일 하전 입자(charged particle)가 만드는 전기장(electric field)을 다뤘었다. 이번엔 이 전기장을 다루는데 아주 유용한 방법인 가우스 법칙(Gauss' law)를 다뤄보자.

 

먼저 전하량(electric charge)이 \( q \)인 입자가 원점에 있다고 가정해보자. 그리고 이 입자를 둘러싸고 있는 어떤 닫힌 곡면(closed surface)을 생각해보자.

 

이 곡면을 가우스 곡면(Gauss surface)라고 부르며 모양은 아무렇게나 잡아도 상관 없다. 적어도 원리적으로는 전하를 잘 둘러싸기만 한다면 어떠한 문제도 발생하지 않는다.

 

 

이제 가우스 곡면위의 한 점을 잡아보자. 이 점과 전하 사이의 거리는 \( r \)이라고 하자. 그럼 이 점에서 곡면에 접하는 접평면(tangent plane)을 생각할 수 있고 이 접평면에 수직이면서 곡면 바깥쪽을 향하는 법선 벡터(normal vector)가 있다.

 

현재 우리가 잡은 법선 벡터의 단위 벡터(unit vector)를 \( \hat{n} \)이라고 표현하자. 법선 벡터를 크기가 크기가 \( 1 \)인 벡터로 만든 것이랑 동일하다.

 

이제 점 주변을 둘러싸고 있는 미소 면적(infinitesimal area)를 \( d a \)라고 해보자. 현재 목표는 이 면적을 통과하는 전기장을 구하는 것이다.

 

잘 생각해보면 어떤 표면을 지나가는 전기장은 다양한 형태로 들어올 수도 있다. 하지만 이러한 문제는 전기장을 정의할 때 그 모습을 나타낸 장선(field line)을 어떻게 그릴건지 설정하면서 해소가 된다.

 

 

먼저 전기장을 그릴 때 우리는 장선이 \( (+) \) 전하에서 나와서 \( (-) \) 전하로 들어가는 형태로 그린다. 다만 이때 장선을 그리는 규칙이 하나가 적용되는데 바로 장선끼리 서로 교차하지 않도록 그려야 한다.

 

또한 그림을 실제로 그려보면 알겠지만 전하 주변에서는 장선이 빽빽하며 전하에서 멀어질 수록 방사형으로 뻗어나가기 때문에 점점 가닥들이 듬성해짐을 알 수 있다. 즉, 장선의 밀도(density)는 전기장의 세기(strength)를 나타낸다.

 

장선을 많이 그려 전기장을 표현할 수도 있지만 사실 일정 숫자를 넘어가게 되면 큰 의미가 없을 수 있다. 그래서 실제 그림에선 유한한 개수의 장선만 그려서 세기를 정성적으로 이해한다.

 

그런데 밀도를 측정한다는 것은 결국 단위 면적 혹은 부피(volume)을 잡고 그 안에 들어있는 대상의 개수를 측정하는 것이다. 따라서 우리는 정해진 단위 면적 또는 부피를 정하고 해당 면적 또는 부피의 위치를 바꿔가면서 안에 있는 장선의 개수를 세어서 장선의 개수가 많으면 전기장이 세다고 할 수 있다.

 

하지만 이는 어디까지나 우리가 이해를 도울 그림에 불과할 뿐이다. 전기장은 공간상에 연속적(continuous)으로 분포되어 있기 때문에 개수란 개념 자체가 어렵다. 따라서 우린 이 개념을 연속적인 분포에 적용시키기 위해 적분(integral)을 이용한다.

 

어떤 가우스 곡면을 통과하는 장선의 개수는 이 면적을 통과하는 전기장의 개수(?) 정도로 생각할 수 있고 이렇게 생각하는 장선의 개수를 우리는 전기 선속(electric flux)라고 부른다. 전기 선속은 다음과 같이 표현한다.

$$ \Phi_E = \int_{S} \vec{E} \cdot d \vec{a} \tag{1}$$

여기서 적분 기호 밑의 \( S \)는 우리가 잡은 가우스 면적을 따라서 적분한 것을 의미한다.

 

 

이제 여기서 앞서 얘기했던 전기장의 형태를 생각해주기 위해서 가우스 곡면 위의 단위 면적 \( d a \)를 지나는 벡터 중 면적과 수직한(perpendicular) 성분만 가지고 개수를 생각해준다.

 

이는 수직한 방향으로 지나는 벡터만 재주겠다는 것이 아니라 비스듬히 지나가는 벡터에 대해서도 이의 성분을 분해해 미소 면적과 수직한 성분만 뽑아서 식 (1)에 반영시켜준다는 뜻이다. 남은 성분은 분명 주변의 다른 미소 면적에 속하는 방식으로 해소가 될 것이다.

 

이런 방식으로 가우스 곡면을 지나가는 모든 전기장의 개수를 세줄 수 있으며 수직한 방향의 성분은 법선 벡터와 내적(inner product)를 이용해서 세주게 된다.

 

따라서 식 (1)은 다음과 같이 표면에 수직한 전기장 성분의 개수를 측정하는 방식으로 표현해 줄 수 있다.

$$ \Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \; d a \tag{2}$$

여기서 가우스 곡면을 닫힌 곡면으로 잡았기 때문에 닫힌 곡면을 따라 적분하는 의미의 \( \oint \) 기호를 사용했다.

 

 

그럼 식 (2)의 적분 내부에 있는 항만 고려해보자. 전기장과 내적, 법선 벡터의 정의를 이용하면 다음과 같은 식이 만들어진다.

$$\vec{E} \cdot \hat{n} d a = E \cos \theta da = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\cos \theta}{r^2} da \tag{3}$$

 

이때 미소 면적 성분은 입체각(solid angle)을 이용해서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$d \Omega = \frac{da}{r^2} \tag{4}$$

 

이를 식 (3)에 반영시킨 다음과 같이 쓰여진다.

$$ \vec{E} \cdot \hat{n} da = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} d \Omega \tag{5}$$

 

근데 입체각의 정의에 의해 \( d \Omega = \sin \theta d \theta d \phi \)가 되어 이를 대입하고 양변을 적분할 수 있다.

$$ \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \; da = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \int^{2 \pi}_0 \int^{\pi}_0 \sin \theta \; d \theta d \phi = \frac{q}{\epsilon_0} \tag{6}$$

마지막 식에서 적분은 \( 4 \pi \)가 됨을 쉽게 알 수 있다.

 

따라서 최종적으로 다음과 같은 식으로 정리할 수 있는데 이를 가우스 법칙이라고 부른다.

$$\oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \; da = \frac{q}{\epsilon_0} \tag{7}$$

 

 

프리드리히 가우스

한편 곡면 내부의 입자의 개수가 많은 경우에 대해서도 중첩의 원리(principle of superposition)를 적용시킬 수 있기 때문에 결국 총 전기장에 대한 적분은 각각의 전기장에 대한 적분으로 분해할 수 있다.

 

이를 결과만 식 (7)의 형태로 표현하면 다음과 같다.

$$\oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \; da = \sum_{i=1}^n \left( \oint_S \vec{E}_i \cdot \hat{n} \; d a \right) = \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{\epsilon_0} \tag{8}$$

 

식 (8)을 보면 내부 전하가 어떻게 분포되어 있던 간에 결국 바깥쪽에서 측정하는 전기장은 내부 전하들의 총 합으로 결정됨을 알 수 있다. 그래서 내부 전하량만 일정하다면 곡면의 모양은 중요한 요소가 아니다.

 

또한 이를 바꿔 얘기하자면 가우스 곡면을 어떻게 잡느냐에 따라서 내부 총 전하량이 바뀔 수 있고 결국 가우스 법칙을 응용하는데 있어서 가우스 곡면을 어떻게 잡을 것인가가 중요해진다.

 

 

이번엔 다음과 같은 발산 정리(divergence theorem)을 사용해서 식 (8)을 바꿔보자.

$$\oint_S \vec{A} \cdot \hat{n} \; d a = \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \; d^3 x \tag{9}$$

여기서 적분 기호 밑의 \( V \)는 가우스 곡면 내부의 부피를 따라 적분한다는 의미다.

 

식 (8)은 다음과 같이 바뀐다.

$$\oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \; da = \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{E} \; d^3 x = \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{\epsilon_0} \tag{10}$$

 

만약 전하의 개수가 무수히 많다면 우리는 이런 상황을 수학적인 연속성을 가진 상황으로 간주하고 문제를 푼다. 물론 수학처럼 무한히 쪼갤 수는 없지만 그럼에도 불구하고 이런 모형이 현상을 잘 설명함은 실험적으로 확인이 된다.

 

따라서 식 (10)의 우변의 총 전하량을 전하 밀도(charge density)라는 전하량의 밀도를 나타내는 함수를 도입해서 연속 분포(continuous distribution)를 가지는 형태로 바꿀 수 있다.

$$\int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{E} \; d^3 x = \frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho(\vec{x}) \; d^3 x \tag{11}$$

$$\int_V \left( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} - \frac{\rho}{\epsilon_0} \right) \; d^3 x = 0 \tag{12}$$

 

임의의 부피에서 식 (12)가 항상 성립하는 방법은 다음과 같은 경우밖에 없다.

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{13}$$

 

가우스 법칙을 식 (13)과 쓰는 것을 가우스 법칙의 미분형(Gauss' law in differential form)이라고 부른다.