전기력과 전기장...장이란?

쿨롱의 법칙(Coulomb law)를 통해서 두 전하(charge)간에 작용하는 전기력을 구할 수 있게 됐다. 이제 중첩의 원리(principle of superposition)를 이용해서 전하가 \( q \)인 입자에 작용하는 전기력을 구해보자.

 

먼저 \(1\)번 입자가 작용하는 전기력(electric force)은 다음과 같다.

$$\vec{F}_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^2} q \hat{r}_1 \tag{1}$$

여기서 \( q_1 \)은 \(1\)번 입자의 전하량을 의미한다.

 

\(1 \)번 입자 말고도 다른 전하가 있는 경우에 대해서 우리가 다루는 전하가 \( q \)인 입자가 받는 전체 전기력은 중첩의 원리를 이용해서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_n = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^2} \hat{r}_1 + \frac{q_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|^2} \hat{r}_2 + \cdots + \frac{q_n}{|\vec{r} - \vec{r}_n|^2} \hat{r}_n \right) \tag{2}$$

 

 

식 (2)에서 우변에 상당히 복잡한 식이 나타났다. 특수한 경우가 아니고선 저 문제를 푼다는 것은 불가능에 가깝다. 해당 부분을 다음과 같이 하나의 함수로 정리해서 표현하자.

$$\vec{F} = q \vec{E} (\vec{r}) \tag{3}$$

 

식 (3)에서 쓴 \( \vec{E} \)를 전기장(electric field)라고 부르며 다음과 같이 표현된다.

$$ \vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{k = 1}^n \frac{q_k}{|\vec{r} - \vec{r}_k|^2} \hat{r}_k \tag{4}$$

 

식 (2)를 우리가 보고자 하는 입자와 전기장이라는 새롭게 정의한 함수 두 가지 요소로 정리했다. 또한 지금보면 전기장의 정의상 전기장은 오로지 공간에만 의존하는 함수가 됨을 알 수 있다.

 

따라서 각 하전 입자(charged particle)의 분포를, 전하 분포(charge distribution)를 알 수 있다면 추가로 각각의 식 (2)를 비교적 간단하게 풀 수 있게 됐다.

 

내가 보려는 입자의 조건은 하나도 관여하지 않고 오로지 문제의 초기 조건(initial condition)만 완벽하게 안다면 원리적으로 전기력 문제는 풀 수 있는 문제가 된다.

 

 

이렇게 장(field)에 접근하는 방식은 사실 수학적으로 표현하기 편한 함수를 만들어서 물리 상황을 기술하는 방식이다. 즉, 수학적인 장점을 위해서 장의 개념을 도입하는 것인데 사실 이는 장의 가장 좁은 해석이라고 볼 수 있다.

 

지금과 같은 해석을 접근한다면 전기장이란 세상에 실존하는 어떤 대상이 아닌 수학적인 도구에 불과하다. 하지만 우리는 장선(field line)과 같은 그림을 통해서 장이란 것이 전 공간에 퍼져있는 어떤 대상임을 알 수 있다.

 

장에 대한 접근 방법을 처음 사용한 물리학자는 마이클 패러데이(Michael Faraday)였다. 장이란 이름도 패러데이가 처음 제안한 것이었다.

 

사실 쿨롱의 법칙등을 이용해서 전자기학을 기술하더라도 큰 문제는 없다. 굳이 장의 개념을 도입할 필요는 없었으나 패러데이의 기준에선 실험적으로 관측되는 전자기 현상이 장의 개념을 사용하는 것이 더 자연스러웠다.

 

현대에야 셀 수 없이 많은 전자(electron)가 일으키는 현상으로 설명이 되지만 당대에는 원자론은 재밌는 이론에 불과했으며 이전 시대의 학자들은 세상이 수학적인 연속성(continuity)을 가지는 것으로 인식하기도 했다.

 

 

이는 마치 파동(wave)과 같이 전 공간에 걸쳐서 퍼져있는 어떤 성질로 이해가 되었고 실제로 전자기학 뿐만 아니라 압력(pressure)이나 열(thermal) 현상에 대해서도 마찬가지였다.

 

실제로 원자는 아주 작기 때문에 우리가 느끼는 이러한 현상들은 수학적인 연속성을 가진 대상으로 착각하기가 쉽다. 하물며 전자는 더 작은데 입자로 생각하기 보단 어떤 연속체(continuous)로 생각하는 것도 이상하진 않은 일이다.

 

특히 제임스 맥스웰(James Maxwell)은 맥스웰 방정식(Maxwell equation)을 만들고 나서 전자기적인 신호가 광속을 지닌다는 것이 밝혀지면서 장에 대한 개념을 잡을 필요성은 더욱더 커졌다.

 

맥스웰은 현대와 같은 장을 생각하기보단 태초부터 공간상에 마치 고무막과 같은 성질을 가지고 있는 '에테르(aether)'가 존재해서 이 막의 요동이 전자기 신호를 전달한다고 생각했다. 심지어 자신의 이론은 에테르를 기준으로 한 좌표계에서 생각해야 한다고 믿었다.

 

 

심지어 장을 도입하면 얻는 이점도 있다. 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)는 기본적으로 두 물체가 접촉해야 서로간의 운동량(momentum)을 교환할 수 있었다.

 

하지만 중력(gravitation), 전기력 등은 물체간의 접촉 없이 원격으로 작용이 가능하다. 이를 원격 작용 이론(action at a distance theory)라고 한다.

 

하지만 전기장을 도입하면 전하를 가지는 입자가 전기장을 전 공간에 걸쳐서 전기장을 형성하고 전기장에 닿은 입자는 장과의 상호작용을 통해 운동 상태가 변하는 것으로 이해할 수 있다.

 

즉, 물체끼리 서로 닿지 않더라도 물체가 형성한 장과 닿음으로서 힘의 효과가 나타날 수 있다. 실제로 이런 생각이 쌓이면서 패러데이의 머릿속에 장이라는 개념이 떠오른 것이었으며 중력 현상도 중력장(gravitational field)로 잘 기술할 수 있다.

 

 

이러한 장이라는 어떤 연속체를 통한 접근 방법은 현대 물리학에서도 유용하게 사용되고 있으며 특히 양자역학(quantum mechanics)를 장으로 기술한 버전인 양자장론(quantum field theory)는 많은 성공을 이루어냈다.

 

이제는 장이란 것이 실재하며 측정가능한 대상이고(실제로 그렇다.) 이를 이용해서 물리학을 기술하면 상당한 도움이 되는 이해방식으로 생각하도록 하자.

 

특히 전자기학과 같이 다루는 대상이 너무나 작아서 수학적으로 연속적인 분포를 가진다고 생각해도 별 문제가 없는 경우에 대해선 장을 도입하는 것이 훨씬 편리하다.