라플라스 방정식
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ③ 편각 성분전자기학 2025. 2. 4. 13:31
지난번 라플라스 방정식(Lapalace equation) 풀이에서 반지름(radius)과 방위각(azimutal angle) 성분을 풀었었다. 이번에는 남은 편각(polar angle)에 대해서 다뤄보자.$$\frac{1}{P (\theta) \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = - l (l+1) \tag{1}$$ 이 식은 다음과 같이 변형시키면 풀기 편하다.$$\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ② 방위각과 반지름 성분전자기학 2025. 1. 10. 01:04
지난번 글에서 구면 좌표계(spherical coordinate)에서의 라플라스 방정식(Laplace equation)을 변수 분리법(separation of variable)을 이용해 다음과 같은 방정식을 만들었었다.$$ \frac{r^2 \sin^2 \theta}{U(r)} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{Q (\phi)} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0 \..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ① 변수 분리법전자기학 2024. 6. 9. 22:06
지난번 글에서 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)이 푸아송 방정식(Poisson's equation)을 만족함을 보였었다. 그와 동시에 전하 분포(charge distribution)의 바깥 공간에서 푸아송 방정식은 라플라스 방정식(Laplace equation)이 됐었다. 어떤 전하 분포가 멀리 떨어진 한 지점에서 만드는 스칼라 퍼텐셜은 라플라스 방정식을 이용해 구하는 경우가 많다. 특히 문제의 상황이 어떤 대칭성(symmetry)을 가지고 있는가에 따라 퍼텐셜의 형태가 결정되는데 우선 구면 좌표계(spherical coordinate)에서 먼저 다뤄보자. 최종적인 목표는 가장 일반적인 형태의 구면 대칭성(spherical symmetry)를 가진 시스템에서 라플라스 방정식의 일반해(gene..
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푸아송 방정식과 라플라스 방정식전자기학 2024. 5. 26. 00:38
지난 글에서 도입한 스칼라 퍼텐셜(scalar potential) $\Phi (\vec{r})$을 이용하면 직접적으로 전기장(electric field)이라는 벡터(vector)를 이용한 방법보다 다소 쉽게 문제를 풀 수 있다고 소개했었다. 그렇다면 이번에는 도대체 어떻게하면 전기장 문제를, 구체적으로 가우스 법칙(Gauss' law)로 이루어진 문제를 스칼라 퍼텐셜 문제로 만드는가를 다뤄보자. 먼저 가우스 법칙과 스칼라 퍼텐셜의 정의는 각각 다음과 같다.$$\text{Gauss' law : } \quad \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{1}$$$$\vec{E} = - \vec{\nabla} \Phi \tag{2}$$ 이제 식 (2..