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라그랑주방정식

• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

  고전역학 2023. 1. 23. 23:01

  이번엔 지난 글의 변분법(calculus of varation)을 이용해서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도해보자. 변분법 : https://boringphys.tistory.com/20 지난번 글에서 최적화 경로를 따르는 함수 $J$에 약간의 경로 변화를 주어서 그 변화 정도인 $\varepsilon$에 의존하는 함수로 바꿔 썼다. 이를 통해서 가능한 모든 경로 중 자연이 따르는 경로를 찾았다. $$J (\varepsilon) = \int^{x_2}_{x_1} f \left( y (x, \varepsilon), \dot{y} (x, \varepsilon) ; x \right) dx \tag{1}$$ $$ y(x, \varepsilon) = y(x..

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• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 변분법

  고전역학 2023. 1. 21. 02:25

  지난 글에서 페르마의 원리(Fermat's principle)을 통해서 자연에서 일어나는 현상들은 어떤 함수를 최소화하는 방향으로 일어남을 보였다. 이번에는 어떤 물리계를 기술할 수 있는 함수를 만든 다음 이를 최소화하는 경로를 찾는 수학적 방법을 소개하려고 한다. 이를 변분법(calculus of variations)라고 한다. 일단 최적화된 경로를 알기 위해서는 어떤 함수를 경로를 따라 적분을 하는 것이 필요하다. 가장 간단하게 1차원 직선 경로를 생각해보자. 두 점 사이를 잇는 연속 함수(continuous function)가 존재할 것이므로 위치 $y$는 $x$에 대한 함수로 표현할 수 있다. $x$는 위치를 표현하는 어떤 변수라고 하자. 많은 경우 물리학에선 시간이 사용된다. ..

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