고유값 문제
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고유값 문제와 풀이 : 특성 방정식과 축퇴수리물리 2024. 5. 28. 22:48
이번 글에는 물리학에서 아주 중요하게 사용되는 방정식의 한 형태인 고유값 방정식(eigenvalue equation)를 다룬다. 여기서 고유를 의미하는 eigen은 독일어에서 나왔다. 고유값 문제는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 어떤 임의의 선형 연산자(linear operator) $\hat{O}$에 대해 다음과 같은 문제를 의미한다.$$\hat{O} \psi = \lambda \psi \tag{1}$$여기서 $\psi$는 어떤 함수를 $\lambda$는 임의의 상수를 의미한다. 식 (1)을 해석해보면 연산자 $\hat{O}$에 대해 변하지 않는 함수 $\psi$가 존재한다는 뜻이다. 다만 그 함수의 스케일은 $\lambda$만큼 변하긴 하지만 어쨋든 함수 $\psi$는 유지된다. 식 (1..
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양자역학의 공준 - 연산자양자역학 2023. 4. 2. 03:00
양자역학(quantum mechanics)에서 입자의 파동(wave)은 다음과 같은 파동 함수(wave function)으로 표현했다. $$\psi (\vec{x}, t) = A e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega t} \tag{1}$$ 이제 우리는 이 파동 함수는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 원소가 되는 어떤 한 벡터(vector)가 되며 디랙 표현법(Dirac notation)을 이용해 \( \left| \psi \right> \)로도 표현할 것이다. 여기서 우리가 다루는 공간이 유클리드 공간(Euclidean space)가 아니란 점에 유의하자. 어떤 기하학적인 방향으로 대변되는 벡터가 아니며 식 (1)과 같은 함수도 벡터의 정의를 고스란히 만족한다. 기저..