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수렴판정법

• 급수의 수렴과 발산 판정법 (4)

  수리물리 2023. 1. 26. 10:50

  이번에는 자주 쓰이는 판정법은 아니지만 몇 가지 자잘한 판정법을 소개해보려고 한다. 1. 쿠머 판정법(Kummer test) 쿠머 판정법은 모든 항이 양수인 수열(sequence) $a_n$에 대해서 다른 보조 수열(auxiloary sequence) $\zeta_n > 0$이 있어서 이 보조 수열을 응용해서 $a_n$의 급수(series)의 수렴성을 판정한다. 구체적으로 다음과 같은 부등식이 성립한다면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 수렴한다. $$r = \liminf_{n \rightarrow \infty} \left( \zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1} \right) > 0 \tag{1}$$ 이때 \( \liminf \..

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• 급수의 수렴과 발산 판정법 (3)

  수리물리 2023. 1. 9. 19:52

  1. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test) 코시의 응집 판정법은 단조 감소 수열의 경우 몇 개의 항의 특성을 이용해서 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. 대표적으로 다음과 같은 조화 급수(harmonic series)를 증명하는데 쓰인다. 아니 오히려 조화 급수 때문에 유명한 판정법일 수도 있다. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \text{diverge} \tag{1}$$  다음과 같이 급수를 나열한 식을 생각해보자. $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \cdots \tag{2}$$  이때 2의 제곱수로 이루어진 항을 이용해 다음과 같은 구성의 급수를 추가로 생각해 볼..

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