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라그랑주역학

• 라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건

  고전역학 2023. 1. 30. 02:56

  오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 역학(dynamics)을 기술하는 방식을 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)이라고 한다. 뉴턴 제 2법칙에서 정의된 힘(force)을 기반으로 방정식을 짜는 것과 달리 라그랑주 역학은 오일러-라그랑주 방정식을 통해서 운동 방정식(equation of motion)을 짠다. 이번에는 라그랑주 역학을 만들기 이전에 필요한 일반화된 좌표(generalized coordinate)와 제약 조건(constraint condition)을 다뤄보려고 한다. 먼저 입자가의 개수가 많은 다체계(many body system)에서 뉴턴 제 2법칙은 다음과 같이 표현될 수 있다. 각 입자에 번호를 매겨서 이 변수를 $i$와 \..

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• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

  고전역학 2023. 1. 23. 23:01

  이번엔 지난 글의 변분법(calculus of varation)을 이용해서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도해보자. 변분법 : https://boringphys.tistory.com/20 지난번 글에서 최적화 경로를 따르는 함수 $J$에 약간의 경로 변화를 주어서 그 변화 정도인 $\varepsilon$에 의존하는 함수로 바꿔 썼다. 이를 통해서 가능한 모든 경로 중 자연이 따르는 경로를 찾았다. $$J (\varepsilon) = \int^{x_2}_{x_1} f \left( y (x, \varepsilon), \dot{y} (x, \varepsilon) ; x \right) dx \tag{1}$$ $$ y(x, \varepsilon) = y(x..

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