급수
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급수의 수렴과 발산 판정법 (3)수리물리 2023. 1. 9. 19:52
1. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test) 코시의 응집 판정법은 단조 감소 수열의 경우 몇 개의 항의 특성을 이용해서 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. 대표적으로 다음과 같은 조화 급수(harmonic series)를 증명하는데 쓰인다. 아니 오히려 조화 급수 때문에 유명한 판정법일 수도 있다.$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \text{diverge} \tag{1}$$ 다음과 같이 급수를 나열한 식을 생각해보자.$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \cdots \tag{2}$$ 이때 2의 제곱수로 이루어진 항을 이용해 다음과 같은 구성의 급수를 추가로 생각해 볼..
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수열과 급수수리물리 2022. 12. 12. 00:38
이번 글에서는 대부분의 수리 물리학 교재에서 첫 장으로 설명하는 수열과 급수에 대해서 다뤄보고자 한다. 이후 한동안은 다른 책들에서와 같이 급수를 이용한 함수 분석법을 다뤄볼 예정이다. 어떤 자연수가 실수에 대응되는 함수를 수열(sequence)이라고 한다.$$ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \tag{1} $$ 이때 임의의 자연수 \( n \)에 대응되는 함수값을 \( f(n) = x_n \)으로 표현하고 이를 수열의 \( n \)번째 항이라고 한다. \( n \)을 무한히 키워가면서 수열의 합을 생각할 수 있고 이를 급수(series)라고 정의한다.$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} x_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \cdo..