함수 급수의 균등 수렴 판정

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함수 급수의 균등 수렴 판정

방구석물포자 2023. 2. 18. 23:06

지난 글에서 함수 급수(series of function)의 균등 수렴(uniformly convergence)에 대해서 다뤘었다. 이번엔 주어진 어떤 함수 급수가 특정 정의역(domain)에서 균등 수렴 하는가 안 하는가를 판정하는 방법으 다뤄보자.

1. 바이어슈트라스 M-판정법 (Weierstrass M-test)

바이어슈트라스 M 판정법은 어떤 정의역 $A$ 에서 정의된 함수 수열(sequence of function) $f_{n} (x)$ 에 대해서 양수로만 이루어진 어떤 수열(sequence) $M_{n}$ 이 있어서 다음 조건을 만족할 경우 $f_{n} (x)$ 가 균등 수렴한다는 판정법이다.

$\begin{matrix} (1) & \sum_{n = 1}^{\infty} M_{n} is covergence \end{matrix}$

$\begin{matrix} (2) & \forall x \in A and n \geq 1 | f_{n} (x) | \leq M_{n} \end{matrix}$

함수 수열의 부분합(partial sum)을 다음과 같이 쓰자.
$\begin{matrix} (3) & S_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{m} f_{n} (x) \end{matrix}$

식 (1)의 조건에서 $M_{n}$ 의 급수(series)가 수렴하기 때문에 해당 수열은 $0$ 으로 수렴하고 충분히 큰 $n$ 에 대해서 부분합이 임의의 양수 $ε$ 보다 항상 작을 수 있다.
$\begin{matrix} (4) & \exists k so that \sum_{n = k + 1}^{m} M_{n} < ε \end{matrix}$

삼각 부등식(triangle inequality)과 식 (3)을 이용하면 다음과 같은 부등식을 쓸 수 있다.
$\begin{matrix} (5) & | S_{m} (x) - S_{k} (x) | = | \sum_{n = k + 1}^{m} f_{n} (x) | \leq \sum_{n = k + 1}^{n} | f_{n} (x) | \leq \sum_{n = k + 1}^{m} M_{n} < ε \end{matrix}$

$k \to \infty$ 인 극한을 취하게 되면 식 (5)를 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.
$\begin{matrix} (6) & lim_{k \to \infty} | S_{m} (x) - S_{k} (x) | = | S_{m} (x) - S (x) | < ε \end{matrix}$

따라사 균등 수렴의 정의를 잘 만족하므로 식 (2)의 조건을 만족하면 함수 급수가 균등 수렴함을 알 수 있다.

2. 아벨 판정법(Abel test)

아벨 판정법은 급수에 사용되는 판정법을 함수 급수에까지 확장시켜 사용할 수 있는 판정법이다.

아벨 판정법은 $a_{n}$ , $b_{n}$ 두 수열을 가정해서 $a_{n}$ 의 급수가 수렴이고 $b_{n}$ 은 단조 수열(monotone sequence)이며 한계를 가지고 있는 유계(bounded)일 경우에 성립한다.

두 조건을 만족하면 다음과 같은 급수가 수렴한다.

$\begin{matrix} (7) & \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} \end{matrix}$

이를 함수 급수에 대해서 적용시키면 균등 수렴하는 $f_{n} (x)$ 와 $g_{n} (x) < g_{n + 1} (x)$ 이며 $| g_{n} (x) | < M$ 인 두 함수에 대해서 ( $M$ 은 임의의 양의 상수) 다음 급수도 균등 수렴이다.

$\begin{matrix} (8) & \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) g_{n} (x) \end{matrix}$

$A_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 라 하면 $a_{n} = A_{n} - A_{n - 1}$ 이다.

따라서 식 (7)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} \sum_{n = 1}^{m} b_{n} (A_{n} - A_{n - 1}) & = & b_{1} A_{1} + b_{2} (A_{2} - A_{1}) + b_{3} (A_{3} - A_{2}) + \dots + b_{m} (A_{m} - A_{m - 1}) \\ = & A_{1} (b_{1} - b_{2}) + A_{2} (b_{2} - b_{3}) + \dots + A_{m - 1} (b_{m - 1} - b_{m}) + A_{m} b_{m} \\ \sum_{n = 1}^{m - 1} A_{n} (b_{n} - b_{n + 1}) + A_{m} b_{m} \end{matrix} \end{matrix}$

$A_{n}$ 은 기본 가정에 의해 수렴하는 수열이고 $b_{n}$ 도 유계인 단조 함수이기 때문에 $b_{n} - b_{n + 1}$ 은 발산할 수 없다. 그렇다면 유계가 될 수 없다.

따라서 식 (8)의 최종식은 수렴함을 알 수 있다.

같인 방식으로 함수 급수에서도 적용 가능하다.

함수 급수와 균등 수렴

이번에는 앞으로 함수를 근사(approximation)하는데 있어서 유용한 함수 급수(series of function)를 다뤄보자. 기존에 수열(sequence)을 어떤 문자와 순서를 통해서 $a_{n}$ 과 같은 식으로 표현했듯이 이번

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