변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

이번엔 지난 글의 변분법(calculus of varation)을 이용해서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도해보자.

 

변분법 : https://boringphys.tistory.com/20

 

 

조세프 루이 라그랑주

지난번 글에서 최적화 경로를 따르는 함수 $J$에 약간의 경로 변화를 주어서 그 변화 정도인 $\epsilon$에 의존하는 함수로 바꿔 썼다. 이를 통해서 가능한 모든 경로 중 자연이 따르는 경로를 찾았다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& J(\epsilon )={\int }_{x_1}^{x_2}f(y(x,\epsilon ),\dot{y}(x,\epsilon );x)dx\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y(x,\epsilon )=y(x)+\epsilon \eta (x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \dot{y}(x,\epsilon )=\dot{y}(x)+\epsilon \dot{\eta }(x)\end{array}$$

 

변분법에서 사용한 방법은 식 (1)의 $J(\epsilon )$의 임계점(stationary point)를 찾는 것이었다. 이 과정을 마저 따라가보자.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{\partial J(\epsilon )}{\partial \epsilon }={\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \epsilon }+\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \epsilon }]dx=0\end{array}$$

 

 

식 (2)와 식 (3)의 관계식을 이용해서 미분(differentiation) 함수를 찾을 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\partial y(x,\epsilon )}{\partial \epsilon }=\eta (x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{\partial \dot{y}(x,\epsilon )}{\partial \epsilon }=\dot{\eta }(x)\end{array}$$

 

이제 식 (5)와 식 (6)을 식 (4)에 대입해서 식을 정리해보면

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y}\eta (x)+\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\dot{\eta }(x)]dx=0\end{array}$$

 

 

여전히 식 (7)은 실제 문제에 사용하기 어려운 형태이다. 그래서 $\dot{\eta }(x)$ 항을 다음과 같이 곱미분(product rule)을 이용해서 변형시켜보자.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{d}{dx}(\eta (x)\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})=\dot{\eta }(x)\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}+\eta (x)\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\dot{\eta }(x)=\frac{d}{dx}(\eta (x)\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\eta (x)\end{array}$$

 

식 (9)를 식 (7)에 대입해보면

$$\begin{array}{ccc}\frac{\partial J(\epsilon )}{\partial \epsilon }& =& {\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y}\eta (x)+\frac{d}{dx}(\eta (x)\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\eta (x)]dx\\ & =& {\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)]\eta (x)dx+(\eta (x_2)-\eta (x_1))\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\\ & =& 0\end{array}$$

 

그런데 시작점 $x_1$과 도착점 $x_2$에서 경로 변화는 없다. 그렇지 않다면 시작점과 도착점이란 개념 자체가 잘 정의되지 않기 때문에 문제 설정 자체에 문제가 생긴다. 따라서 $\eta (x_1)=\eta (x_2)=0$이라고 하면 최종적으로

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{\partial J(\epsilon )}{\partial \epsilon }={\int }_{x_1}^{x_2}[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)]\eta (x)dx=0\end{array}$$

 

 

레온하르트 오일러

식 (10)을 분석해보자. 임계점에선 항상 $J$의 미분이 $0$이 되어야 하는데 $\eta (x)$는 경로 변화를 위해 넣어준 임의의 함수기 때문에 굳이 $0$일 필요가 없다. 오히려 $0$이 아닌 것이 더 자연스럽다.

 

따라서 적분 내부의 괄호 식이 $0$이 되어야 식 (10)이 임의의 경로 변화에 대해 항상 성립하는 식이 될 수 있다. 이를 정리해보면 다음과 같은 식이 된다.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)=0\end{array}$$

 

식 (11)이 바로 오일러-라그랑주 방정식이다. 다음 글에서는 대체 이 방정식을 어떻게 실제 물리 문제에 적용시킬 수 있는지 알아볼 예정이다.