라그랑주 역학 - 달랑베르 원리

고전역학

라그랑주 역학 - 달랑베르 원리

방구석물포자 2023. 2. 14. 19:00

선행해야 할 내용

뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란?

뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 3법칙(작용-반작용의 법칙) : https://boringphys.tistory.com/14 지난 작용-반작용의 법칙(action-reaction law) 글에서 마지막에 가속도(acceleration)를 어떻게 측정할 것이냐에 대

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라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건

오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 역학(dynamics)을 기술하는 방식을 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)이라고 한다. 뉴턴 제 2법칙에서 정의된 힘(force)을 기반으로 방정식을 짜는

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우리는 계속해서 물리적 상황이 어떤 값에 최적화된 다시 말해서 그 값을 최소화 시키는 경로를 그리며 진행되며 어떻게 최소화하는 가에 대해서 수학적 기법도 다뤄왔다.

그러나 어떤 값을 최소화 시켜야 하는가에 대해선 다뤄보지 못했다. 이번엔 과연 어떤 값을 최소화 시키는지 그 값을 구해보려고 한다. 이제 실제 문제에서 이 값을 찾아서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)에 대입해 최소화시키면 물리 문제를 해결 할 수 있다.

먼저 원래 물체가 그리는 경로에서 아주 조금 변형시켜보자. 이때 이 변위가 힘(force)과 제약 조건(constraints condition)을 변화시키지 않는다고 생각하자. 이런 특수한 조건 때문에 이 변화된 거리를 가상 변위(virtual displacement)라고 부른다. 가상 변위를 $δ {\vec{r}}_{i}$ 라고 쓰자.

이번엔 우리가 다루는 계가 다체계(many body)이며 평형(equilibrium) 상태에 있다고 가정하자. 그렇다면 각 입자에 작용하는 총 힘(total force)은 $0$ 이 된다. 따라서 $i$ 번째 입자에 대해 방정식을 짜면 다음과 같다.

$\begin{matrix} (1) & {\vec{F}}_{i} = 0 \end{matrix}$

이제 가상 변위를 이용해서 가상 일(virtual work)을 ${\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i}$ 로 정의할 수 있다. 전체 입자들의 가상 일의 합은 $0$ 이 된다.

$\begin{matrix} (2) & \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 \end{matrix}$

이번엔 물체의 총 힘을 물체에 작용하는 힘 ${\vec{F}}_{i}^{(a)}$ 와 제약 조건에 의한 힘 ${\vec{F}}_{i}^{(c)}$ 로 분해해보자.

$\begin{matrix} (3) & {\vec{F}}_{i} = {\vec{F}}_{i}^{(a)} + {\vec{F}}_{i}^{(c)} \end{matrix}$

이를 이용하면 식 (2)는 다음과 같이 쓰인다.

$\begin{matrix} (4) & \sum_{i} {\vec{F}}_{i}^{(a)} \cdot δ {\vec{r}}_{i} + \sum_{i} {\vec{F}}_{i}^{(c)} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 \end{matrix}$

이제 제약 조건에 의한 힘이 만드는 가상 일의 총 합이 $0$ 이라고 생각하자. 왜냐하면 제약 조건은 특정 좌표 방향으로 물체를 움직이지 못하게 만들기 때문에 물체가 움직이는 표면에 수직한 방향으로 $F_{i}^{(c)}$ 를 준다.

그런데 가상 변위는 해당 표면에서 그리는 궤적에서 살짝 움직이는 상황이기 때문에 $F_{i}^{(c)}$ 와 수직이다. 따라서 내적(inner product)의 계산법에 따라 다음과 같다.

$\begin{matrix} (5) & F_{i}^{(c)} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 \end{matrix}$

좋은 예시로 수직항력(normal force)를 생각해보자. 책상이라는 제약 조건 때문에 더는 아래로 내려갈 수 없는 물체의 경우 제약 조건 때문에 수직항력이 생긴다.

그리고 이 제약 조건 때문에 책상 위 밖에 움직일 수 밖에 없고 수직항력은 물체의 궤적에 대해 항상 수직일 수 밖에 없다. 따라서 식 (5)가 잘 성립한다고 볼 수 있다.

최종적으로 식 (4)는 다음과 같이 정리된다. 물체에 작용하는 힘이 만드는 가상 일의 총합은 $0$ 이 된다. 이를 가상 일 원리(principle of virtual work)라고 한다.

$\begin{matrix} (6) & \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 \end{matrix}$

일반적인 경우 식 (6)에서 ${\vec{F}}_{i}^{(a)} \neq 0$ 이다. 그럼에도 불구하고 식 (6)이 성립할 수 있는 이유는 각 입자들의 가상 변위가 제약 조건에 의해 서로 상관관계를 가지고 있기 때문이다.

다시 말해서 입자들의 가상 변위가 제약 조건 때문에 서로 영향을 끼치고 그 영향으로 식 (6)에서 가상 일들이 상쇄될 수 있다는 뜻이다. 그러나 이런 경우의 문제 계산은 당연하게도 아주 어려운 문제가 될 것이다.

그래서 적당한 변환(transform)을 취해서 식 (6)을 일반화된 좌표(generalized coordinate)로 바꿀 필요가 있다. 이 좌표계에선 바뀐 방향을 따라선 서로 독립적인 운동을 하게 된다.

이 과정을 거치기 위해서 먼저 뉴턴 운동 제 2법칙(Newton's 2nd law of motion)을 살펴보자.

$\begin{matrix} (7) & {\vec{F}}_{i} = \dot{{\vec{p}}_{i}} \end{matrix}$

식 (7)에서 운동량(momentum)의 시간 미분항을 이항하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\begin{matrix} (8) & {\vec{F}}_{i} - \dot{{\vec{p}}_{i}} = 0 \end{matrix}$

식 (8)을 해석해보자. 먼저 식 (7)은 어떤 관성 좌표계에서 바라본 $i$ 번째 입자의 운동 방정식을 나타낸 것이다. 이와 별개로 입자들은 자신만의 좌표계를 가지고 있다. $i$ 번째 입자의 좌표계에선 $i$ 번째 입자는 가만히 있고 나머지 입자들이 움직이는 것으로 물리학을 기술할 수 있다.

또다른 가속 운동하는 물체를 관성 좌표계와 $i$ 번째 입자의 좌표계에서 기술하게 되면 서로의 관점에는 차이가 발생한다. 그래서 이러한 차이점을 해소해주기 위해서 가상의 힘 관성력(inertial force)를 도입해야 한다.

식 (8)에서 $\dot{{\vec{p}}_{i}}$ 가 바로 관성력이다. 식 (8)은 관성 좌표계에서 $i$ 번째 입자의 좌표계로 바꾼 상황이며 다른 입자에 대해서도 동일한 상황을 취해줄 수 있다.

이제 식 (8)을 식 (2)에다가 대입해주면

$\begin{matrix} (9) & \sum_{i} ({\vec{F}}_{i} - \dot{{\vec{p}}_{i}}) \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 \end{matrix}$

그리고 힘을 다시 한번 물체에 작용하는 힘과 제약 조건에 의한 힘으로 분해한다.

$\begin{matrix} (10) & \sum_{i} ({\vec{F}}_{i}^{(a)} + {\vec{F}}_{i}^{(c)} - \dot{{\vec{p}}_{i}}) \cdot δ {\vec{r}}_{i} = \sum_{i} ({\vec{F}}_{i}^{(a)} - \dot{{\vec{p}}_{i}}) \cdot {\vec{r}}_{i} + \sum_{i} {\vec{F}}_{i}^{(c)} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 \end{matrix}$

그런데 제약 조건이 만드는 힘이 하는 일은 $0$ 이었으므로 최종적으로 다음과 같이 제약 조건에 의한 입자간의 상관관계를 없애고 각 입자들의 독립적인 좌표계로 이루어진 방정식을 세울 수 있다.

$\begin{matrix} (11) & \sum_{i} ({\vec{F}}_{i}^{(a)} - \dot{{\vec{p}}_{i}}) = 0 \end{matrix}$

식 (11)을 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)이라고 부른다. 이제 남은 일은 가상 변위를 일반화된 좌표계로 바꾸는 일이 남아있다. 이 작업마저 마친다면 모든 홀로노믹(holonomic) 제약 조건에서 자유로운 운동 방정식을 세울 수 있다.