행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식
이번엔 행렬(matrix)의 더 부가적인 성질들과 연산을 알아보자.
1. 곱셈에 대한 항등원(identity)
먼저 행렬의 곱셈에 대한 항등원 \( I \)라 쓰고 이를 구하기 위해 행렬 곱셈의 일반화된 표현을 사용하자. 그럼 항등원의 정의에 따라 다음과 같은 식이 성립한다.
$$ A_{ij} = (A I)_{ij} = \sum_{k}^n A_{ik} I_{kj} \tag{1}$$
식 (1)을 전개한 다음 임의의 행렬 \( A \)에 대해 성립하는 경우를 생각해보자.
$$ A_{ij} = A_{i1} I_{1j} + A_{i2} I_{2j} + \cdots + A_{ij} I_{jj} + \cdots + A_{in} I_{nj} \tag{2}$$
다른 \( A \)의 항들은 임의의 실수기 때문에 등식이 항상 성립하게 만들 수가 없다. 하지만 \( I \)의 항들이 \( I_{jj} \)를 제외하고 전부 \( 0 \)이라면 모든 항들이 사라지고 다음과 같은 항만 남는다.
$$ A_{ij} = A_{ij} I_{jj} \tag{3}$$
따라서 \( I_{jj} = 1\)임을 알 수 있다. 항등 행렬은 행(row)과 열(column)이 일치하는 성분은 전부 \( 1 \)이고 나머지는 \( 0 \)인 행렬이다. 이를 단위 행렬(unit matrix)라고도 부른다.
$$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \tag{4}$$
혹은 이 항등 행렬은 크로네커 델타(Kronecker delta)를 이용해서 표현하기도 한다. 주로 텐서(Tensor)를 계산할 때 사용된다.
$$ I = \delta_{ij} \tag{5}$$
2. 행렬식(determinant)
이번엔 행렬에서 사용되는 중요한 값 중 하나인 행렬식을 다뤄보자. 행렬식은 정사각 행렬(square matrix)에서 정의되는 특수한 숫자를 의미한다. 정사각 행렬 \( A \)의 행렬식은 다음과 같이 표현한다.
$$\det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2n} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & \cdots & A_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & A_{m3} & \cdots & A_{mn} \end{vmatrix} \tag{6}$$
문제는 식 (6)을 어떻게 계산하느냐이다. 실제로 상당히 까다롭고 복잡한 과정을 거쳐서 열심히 계산해야 한다. 먼저 가장 간단한 \( 2 \times 2\) 행렬에 대한 행렬식을 구해보자.
\( 2 \times 2\) 행렬 \( A_{2 \times 2} \)의 행렬식은 다음과 같다.
$$\det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \tag{7}$$
혹은 다음과 같이 쓰기도 한다.
$$\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \tag{8}$$
이제 \( 2 \times 2 \) 행렬식을 기반으로 더 큰 행렬들의 행렬식을 구하는 방법을 만들어 나간다. \( n \times n \)행렬의 경우 먼저 한 행 또는 열을 선택한다. 자유롭게 잡아도 상관이 없다.
그 다음에 선택한 열에서 한 원소를 선택한다. 이 원소가 행렬에서 몇 행 몇 열에 존재하는지 \( i \), \( j \)를 판별한다. 그리고나서 \( i + j\)를 계산해서 이 값이 짝수(even number)면 \( +1 \)을 지정하고 홀수(odd number)면 \( -1\)을 배정한다.
그 다음에 선택한 한 원소는 자기가 속한 행과 열이 존재한다. 이제 전체 행렬에서 그 원소가 속한 행과 열을 통째로 없애 버린다. 이렇게 만든 \( (n-1) \times (n-1) \) 행렬을 소행렬(minor)이라고 부른다. 소행렬의 행렬식을 여인수(cofactor)라고 한다.
이제 선택한 원소와 대응되는 여인수를 곱한 다음 위에서 지정한 홀, 짝에 다른 배정값 \( \pm 1 \)을 알맞게 곱해준다. 그리고 이 과정을 맨 처음에 선택한 행 또는 열의 나머지 원소에 대해서도 취해주고 얻어낸 결과를 더해준다.
이 경우 그럼 \( n \times n \) 행렬의 행렬식을 구하는 문제에서 n개의 \( (n-1) \times (n-1) \) 행렬식을 구하는 문제로 바뀌었음을 알 수 있다. 또 각각의 \( (n-1) \times (n-1) \) 행렬식에 같은 과정을 취해서 구해야 하는 행렬식의 크기를 줄일 수 있고 이를 반복하면 최종적으로 \( n ! \)개의 \( 2 \times 2\) 행렬식을 구하는 문제로 바꿀 수 있다.
물론 이 과정을 말로만 하면 이해가 어렵기 때문에 한 번 \( 3 \times 3\) 행렬에 대해서 예시를 풀어보자. 다음과 같은 \( A \) 행렬을 정의하자.
$$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} \tag{9}$$
이제 이 행렬에서 한 행 또는 열을 고르자. 나는 \( \begin{pmatrix} A_{12} & A_{22} & A_{32} \end{pmatrix}\)인 행을 고르겠다. 이 경우 \( A_{12} \)는 \( -1 \), \( A_{22} \)는 \( +1 \), \( A_{32} \)는 \( -1 \)을 배정받는다.
이제 \( A_{12} \)의 소행렬은 다음과 같이 주어진다.
$$ M_{12} = \begin{pmatrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} \tag{10}$$
나머지 \( A_{22} \)와 \( A_{32} \)에 대해서도 마저 소행렬을 구해주자.
$$ M_{22} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{pmatrix} \tag{11}$$
$$ M_{23} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{pmatrix} \tag{12}$$
이제 이를 이용해서 식 (9)에서 정의한 행렬의 행렬식을 구할 수 있다.
$$\det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} = - A_{21} \begin{vmatrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} + A_{22} \begin{vmatrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{vmatrix} - A_{23} \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{vmatrix} \tag{13}$$
그런데 \( 2 \times 2 \) 행렬의 행렬식은 식 (7) 또는 식 (8)을 이용해서 구할 수 있기 때문에 식 (13)을 전개하면 다음과 같다.
$$ \det A = -A_{21} \left( A_{12} A_{33} - A_{13} A_{32} \right) + A_{22} \left( A_{11} A_{33} - A_{13} A_{32} \right) - A_{23} \left( A_{11} A_{32} - A_{12} A_{31} \right) \tag{13}$$
지금 보듯이 행렬의 크기가 커지면 커질 수록 행렬식을 구하기는 매우 어려워진다. 그러나 이 행렬식은 행렬의 곱셈에 대한 역원(inverse)을 구하거나 외적(outer product)를 간단하게 표현하는데 도움이 많이 된다.
행렬의 행렬식은 레비-시비타 기호(Levi-Civita symbol)을 이용해서 간단하게 쓸 수도 있다. \( n \times n \) 행렬의 행렬식을 \( D_n \)이라고 하면 다음과 같이 나타난다.
$$ D_n = \sum_{i, j \cdots} \varepsilon_{ij \cdots} A_{1i} A_{2j} \cdots \tag{14}$$
식 (14)를 자세히 구하는 방법은 텐서를 다룰 때 다시 자세히 다뤄보자.