조화 진동자
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1차원 단순 조화 진동자 문제 - 연산자 풀이고전역학 2025. 1. 5. 23:37
지난번 글에서 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 가설 풀이(ansatz) 방법을 이용해서 풀었다. 이번에는 연산자(operator)를 이용한 풀이 방법을 간단하게 다뤄보자. 일단 이번에도 풀어야 하는 미분 방정식은 지난번과 마찬가지로 다음과 같다.$$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1}$$이때 $\omega_0 = \frac{k}{m}$이다. 이를 미분 연산자(differential operator)의 형태로 쓰면 다음과 같다.$$\frac{d^2}{dt^2} x(t) + \omega_0^2 x(t) = \left( \frac{d^2}{dt^2} + \omega_0^2 \right) x(t) = 0 \tag{2}$$ 이 연산자를 마치 ..
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1차원 단순 조화 진동자 문제 - 가설 풀이(Ansatz)고전역학 2024. 12. 14. 17:07
이번엔 훅의 법칙(Hooke's law)를 이용한 물리계 문제를 풀어보자. 특히 오로지 훅의 법칙에 의한 복원력(restoring force) 만 있는 경우를 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)라고 부른다. 이 예시는 간단하게 풀 수 있는 문제지만 물리학에서 아주 강력한 효과를 발휘한다. 수많은 물리 문제의 경우 평형 상태(equilibrum)에서 외부 힘에 의해 약간 변하는 경우를 생각하기 때문에 어떤 원인에 의해서 발생했던 간에 그 효과는 단순 조화 진동자로 근사(approximation)하거나 애초에 단순 조화 진동자 문제 형태를 가진다. (실제로 단순 조화 진동자 형태로 쓸 수 없다면 문제는 매우 어려워지거나 풀지 못한다.) 이번 글에서는 특히나 물리학에서 광범위하..