라그랑지안
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2차원 등가속도 직선 운동 - 라그랑지안 풀이고전역학 2023. 4. 2. 02:12
이번엔 지난번에 다뤘던 2차원 등가속도 직서 운동(linear motion with constant acceleration) 문제를 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)를 이용해 다루는 방법을 얘기해보려고 한다. 지난번 문제의 상황과 완전히 동일하고 결과도 같기 때문에 딱히 새로울 내용은 없다. 오히려 두 역학이 서로 다른 결과를 줬으면 둘 중 하나는 틀린 것이기에 더 큰 문제가 됐을 것이다. 그러나 실제로 그런 일은 일어나지 않았고 이번엔 라그랑지안(Lagrangian)을 어떻게 사용하는가에 대한 예시로 받아들이면 좋다. 먼저 물체의 운동 에너지(kinetic energy)를 구해보자. 속력(speed)과 각각의 속도 벡터(velocity vector) 사이의 관계 \( v = \sqrt{v..
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라그랑주 역학 - 라그랑지안고전역학 2023. 2. 23. 02:30
지난번 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)를 통해 우리가 최소화해야하는 양 라그랑지안(Lagrangian)을 유도해보도록 하겠다. 먼저 달랑베르 원리에서 만든 일반화된 좌표(generalized coordinates)를 이용해서 앞서 사용했던 가상 변위(virtual displacement)를 정의할 때 사용한 좌표계를 바꿔 쓰자. $$\vec{r}_i = \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n; t) \tag{1}$$ 이 좌표계에서의 속도는 연쇄 법칙(chain rule)을 이용해서 구할 수 있다. $$ \vec{v}_i = \frac{d \vec{r}_i}{dt} = \sum_k \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{..