수반 행렬과 수반 연산자

 

지난 글에서 양자역학(quantum mechanics)에서는 디랙(Dirac)이 제안한 브라-켓 표현법(bra-ket notation)을 주로 사용하며 특히  내적 공간(inner product space)를 정의하기 위해서 쌍대 공간(dual space)가 필요했다.

 

힐베르트 공간(Hibert space)에서 정의되는 내적(inner product)의 경우 열벡터(raw vector)를 만들어 낼 때 벡터에 단순히 전치(transpose)를 취하는 것 뿐만 아니라 각 성분들을 대응되는 켤레 복소수(complex conjugate)로 바꿔줘야 했다.

 

이는 힐베르트 공간의 원소가 복소수(complex number)까지 가능하기 때문에 올바른 내적을 정의하기 위해서 바뀌는 성질이다. 오늘은 이를 좀 더 구체화시키려고 한다.

 

 

 

일단 먼저 연산자 $\hat{Omega}$가 임의의 브라 벡터(bra vector) $\left| V \right>$에 가해져 새로운 벡터 $\left| W \right>$를 만드는 경우를 보자.

$$\left| W \right> =  \hat{\Omega} \left| V \right> \tag{1}$$

 

이제 $\left| W \right>$에 전치를 가한 다음 원소들을 켤레 복소수 바꿔서 $\left< W \right|$를 구해보자.

$$ \left< W \right| = \left( (\hat{\Omega} \left| V \right>)^T \right)^* \tag{2}$$

 

이떄 전치의 성질을 이용하면 식 (2)는 다음과 같이 됨을 알 수 있다.

$$ \left< W \right| = \left< V \right| \left( \hat{\Omega}^T \right)^* \tag{3}$$

 

근데 양자역학에서 연산자는 행렬(matrix)을 의미했기 때문에 식 (3)에서 등장한 $\hat{\Omega}$의 전치 이후 켤레 복소수를 취한 대상은 $\hat{\Omega}$라는 행렬에 전치를 취한 다음 각 성분을 켤레 복소수로 바꾼 행렬이다.

 

이렇게 만들어지는 행렬을 수반 행렬(adjoint matrix)이라고 부르며 또는 수반 연산자(adjoint operator)라고 부른다. 다음과 같이 대거 기호를 이욯해서 간단하게 표현한다.

$$\left( \hat{\Omega}^T \right)^* = \Omega^{\dagger} \tag{4}$$

 

원래 연산자 $\hat{\Omega}$가 임의의 벡터 $\left| V \right>$를 $\left| W \right>$로 변환했듯이 $\hat{\Omega}^{\dagger}$은 $\left< V \right|$를 $\left< W \right|$로 변환한다.

 

 

 

이제 고유값(eigenvalue) 문제로 넘어가서 수반 행렬의 성질을 파악해보자. 먼저 연산자 $\hat{A}$의 고유값이 $a \in \mathbb{C}$라고 해보자.

$$\hat{A} \left| V \right> = a \left| V \right> \tag{5}$$

 

이제 양변에 수반 연산을 가해보자. 그렇다면 $a$는 스칼라(scalar)이기 때문에 전치에는 변하지 않고 오직 켤레 복소수로만 바뀌게 된다.

$$\left( \hat{A} \left| V \right> \right)^{\dagger} = \left< V \right| \hat{A}^{\dagger} = \left( a \left| V \right> \right)^{\dagger} = a^* \left< V \right| \tag{6}$$

 

이번엔 두 연산자를 곱해서 만든 행렬의 수반 연산자를 구해보자. 먼저 다음과 같은 식을 고려한다.

$$\left| W \right> = \hat{A} \hat{B} \left| V \right> \tag{7}$$

 

이제 이 식에 수반 연산을 가하면 전치의 성질에 의해 다음과 같이 변한다.

$$\left< W \right| = \left( \hat{A} \hat{B} \left| V \right> \right)^{\dagger} = \left< V \right| \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} \tag{8}$$

 

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$(\hat{A} \hat{B})^{\dagger} = \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} \tag{9}$$

 

 

 

전치를 취한 다음 각 성분을 켤레 복소수로 바꿔주는 작업을 따로 수반 연산으로 정의한 이유는 힐베르트 공간에서 올바르게 내적을 정의하기 위해서였다.

 

즉, 수반 연산은 어떤 한 벡터 공간과 연산자들의 관계에 대응되는 쌍대 공간을 만드는 작업에 해당한다.

 

그러나 물리학적으로 생각해 봤을 때 브라 공간이나 켓 공간은 전부 어떤 상태를 기술하는 파동 함수(wave function)들로 이루어진 공간이며 연산자들은 물리량에 해당한다.

 

브라 공간이나 켓 공간이나 전부 같은 세상을 기술해야 한다. 이는 연산자들에 있어 어떤 중요한 점을 시사하고 있다. 이 특성은 양자역학을 구성하는 데 아주 중요한 개념으로 작용하며 다음 글에서 다뤄볼 예정이다.

 

 

양자역학의 기초 - 힐베르트 공간과 벡터

 

양자역학의 기초 - 행렬과 연산자

 

양자역학의 공준 - 연산자