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유니타리 행렬과 회전 변환 이번 글에서는 양자역학(quantum mechanics)에서 종종 볼 수 있는 행렬(matrix)의 한 형태인 유니타리 행렬(unitary matrix)에 대해서 다뤄보려고 한다. 양자역학의 연산자(operator) 중에서 회전 변환(rotational transformation)을 다루는 연산자들은 유니타리 행렬의 형태를 가지고 있는데 간단한 예시도 이번 글에서 다뤄볼 예정이다. 먼저 아주 간단하게 유니타리 행렬이란 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬을 의미한다.$$U U^{\dagger} = I \tag{1}$$ 식 (1)에서 보면 어떤 행렬 $U$의 수반 행렬(adjoint matrix)가 $U$의 역행렬(inverse matrix)가 되는 경우 $U$를 유니타리 행렬이라고 부른다. 이를 다른 방식으.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 5. 8.
에르미트 행렬의 성질 지난 글에서 특수한 행렬(matrix) 집단인 에르미트 행렬(Hermitian matrix)에 대해 다뤘었다. 이번에는 이 에르미트 행렬들의 성질에 대해서 다뤄보자. 먼저 두 에르미트 연산자(Hermitian operator) $\hat{A}$ 와 $\hat{B}$에 대해서 두 행렬의 곱인 $\hat{A} \hat{B}$는 어떻게 될지 살펴보자. $\hat{A} \hat{B}$에 수반(adjoint) 작용을 가하면 다음과 같다.$$\left( \hat{A} \hat{B} \right)^{\dagger} = \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} = \hat{B} \hat{A} \tag{1}$$ 식 (1)의 결과에 의하면 두 에르미트 연산자가 곱해서 만들어낸 새로운 행렬은 에르미트.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 18.
에르미트 연산자와 반에르미트 연산자 이번 글에서는 본격적으로 양자역학(quantum mechanics)에서 사용하는 연산자(operator)들이 가지는 가장 중요한 성질에 대해서 알아보고자 한다. 우선 지난 글에서 어떤 행렬(matrix)에 전치(transpose)를 취한 뒤 각 성분을 켤레복소수(complex conjugate)로 바꿔주는 수반(adjoint) 작용에 대해서 알아봤다. 어떤 행렬이 어떤 브라 벡터(bra vector)에 작용하는 것에 수반 작용을 가하면 해당 행렬의 수반 행렬(adjoint matrix)이 해당 브라 벡터에 대응되는 켓 벡터(ket vector space)에 작용하는 것이 동등함을 보였다. 글의 말미에서 이러한 작용은 힐베르트 벡터 공간(Hilbert vector space)에서 내적(inner produ.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 11.
수반 행렬과 수반 연산자 지난 글에서 양자역학(quantum mechanics)에서는 디랙(Dirac)이 제안한 브라-켓 표현법(bra-ket notation)을 주로 사용하며 특히 내적 공간(inner product space)를 정의하기 위해서 쌍대 공간(dual space)가 필요했다. 힐베르트 공간(Hibert space)에서 정의되는 내적(inner product)의 경우 열벡터(raw vector)를 만들어 낼 때 벡터에 단순히 전치(transpose)를 취하는 것 뿐만 아니라 각 성분들을 대응되는 켤레 복소수(complex conjugate)로 바꿔줘야 했다. 이는 힐베르트 공간의 원소가 복소수(complex number)까지 가능하기 때문에 올바른 내적을 정의하기 위해서 바뀌는 성질이다. 오늘은 이를 좀 더 구체화.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 2. 16.
오펜하이머 개봉 기념 특집 : 보른 - 오펜하이머 근사 ① 이번 글에서는 영화 개봉 기념으로 오펜하이머(Oppenheimer)의 대표적인 업적을 살펴보려 한다. 오펜하이머는 양자역학(quantum mechanics)의 태동기에 독일 괴팅겐 대학 보른(Born)의 밑에서 유학한 다음 당시 미국에겐 아직까지 생소했던 양자역학을 도입한 것으로 유명하다. 이번 글에서는 보른과 오펜하이머가 만들어낸 업적인 보른-오펜하이머 근사(Born-Oppenheimer approximation)에 대해 다뤄본다. 보른-오펜하이머 근사는 다원자 분자(polyatomic molecule)를 양자역학적으로 다루는 이론이다. 그래서 우리는 먼저 다원자 시스템에 대한 이해가 필요하다. 단일 수소 원자의 경우 슈뢰딩거(Schrödinger)가 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equatio.. 공감수 2 댓글수 0 2023. 8. 16.
양자역학의 공준 - 연산자 양자역학(quantum mechanics)에서 입자의 파동(wave)은 다음과 같은 파동 함수(wave function)으로 표현했다. $$\psi (\vec{x}, t) = A e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega t} \tag{1}$$ 이제 우리는 이 파동 함수는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 원소가 되는 어떤 한 벡터(vector)가 되며 디랙 표현법(Dirac notation)을 이용해 \( \left| \psi \right> \)로도 표현할 것이다. 여기서 우리가 다루는 공간이 유클리드 공간(Euclidean space)가 아니란 점에 유의하자. 어떤 기하학적인 방향으로 대변되는 벡터가 아니며 식 (1)과 같은 함수도 벡터의 정의를 고스란히 만족한다. 기저.. 공감수 3 댓글수 1 2023. 4. 2.
양자역학의 기초 - 항등 연산자와 사영 연산자 지난번에 힐베르트 공간(Hilbert space)의 벡터(vector)들에 대해서 이 벡터들이 선형 연산자(linear operator)에 의해 어떻게 변하는지 그리고 그러한 변화를 행렬(matrix)에 의해서 표현할 수 있음을 봤었다. 본격적으로 이러한 변환 행렬(transformation matrix)를 보기 이전에 수학적으로 유용한 결과를 줄 수 있는 행렬들에 대해 다뤄보려고 한다. 먼저 항등 연산자(identity operator)에 대해서 생각해보자. 항등 연산자는 어떤 벡터에 이 연산을 가했을 때 벡터가 변하지 말아야하는 연산자를 의미한다. 먼저 다음과 같은\( n \)차원 켓 벡터(ket-vector)를 생각해보자. $$ \left| A \right> = \begin{pmatrix} a_1 .. 공감수 1 댓글수 1 2023. 3. 27.
양자역학의 기초 - 행렬과 연산자 이번에는 양자역학(quantum mechanics)을 구성하는 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)에서 힐베르트 공간의 원소인 벡터(vector)들이 어떻게 서로간에 관계를 가지는지 이에 대한 연산은 어떤 성질을 띠는지 알아보자. 우리가 지난 글에서부터 어떤 \( n\)차원 열 벡터(column vector)를 폴 디랙(Paul Dirac)의 표현법을 받아들여 \( n \)차원 켓 벡터(ket vector)로 표현했었다. $$ \left| V \right> = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \tag{1}$$ 이제 이 벡터에 어떤 계산을 가해서 힐베르트 공간에 있는 또다른 벡터 \( \left| U \right> \)로 바.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 3. 12.
직교 기저와 그람-슈미트 과정 지난 글에서 힐베르트 공간(Hilbert space)에서의 벡터에 대해 다뤘었다. 그러면서 벡터의 내적(ineer product)을 통해 직교성(orthogonality)를 다뤘었다. 벡터를 성분(component)으로 표현할 경우 그 기준이 되는 기저(basis)들을 수직한 기저로 잡는 편이 계산에 훨씬 용이하다. 내적 같은 계산의 경우 서로 다른 방향 기저끼리의 내적이 \( 0 \)이 되버리기 때문이다. 이번 글에서는 어떤 임의의 기저를 줬을 경우 이 기저를 직교 기저로 바꾸는 방법에 대해서 다뤄보려고 한다. 이 방법을 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt proceudure)라고 한다. 사실 양자역학(quantum mechancis)을 하면서 이 과정을 직접적으로 거칠 일은 없다. 이미 직교화 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 2. 9.
양자역학의 기초 - 힐베르트 공간과 벡터 벡터, 정확히 알고 있나요? 벡터의 성질 : https://boringphys.tistory.com/23 벡터, 정확히 알고 있나요? 수학적 정의 : https://boringphys.tistory.com/19 이번 글에서는 본격적으로 양자역학(quantum mechanics)를 다루기 이전에 양자역학의 기초 개념에 대해 다뤄보려고 한다. 양자역학은 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)과는 다른 수학, 다른 공리(axiom)을 사용한다. 특히 뉴턴 역학에선 유클리드 공간(Euclidean space)를 가정했기 때문에 다루던 벡터(vector)들은 유클리드 벡터(Euclidean vector)였다. 하지만 양자역학에서 사용하는 수학 공간은 힐베르트 공간(Hilbert space)이기 때문에 좀.. 공감수 2 댓글수 1 2023. 2. 4.
왜 확률이었는가? 보른의 확률 해석 양자역학의 가장 난해한 점을 꼽으라면 아마 확률 해석일 것이다. 고등학교 화학 시간만 하더라도 원자의 모형을 설명할 때 오비탈(orbital) 이론을 가르치는데 문제는 갑자기 이전 모형까진 전부 공처럼 생각하던 전자가 오비탈 이론에선 확률 구름으로 존재한다는 점이다. 이는 보른(Born)의 확률 해석이 반영된 결과물인데 사실 이러한 가설에 대해 처음부터 찬성한 사람은 적었다. 실제로 격렬한 반대가 있었던 가설이지만 결국 현대 양자역학의 정설이 되어버렸다. 오늘 다룰 얘기는 "정말 확률인가?", "이 이론이 옳은가?", "입자의 확률이란 것이 무슨 소리인가?"에 대한 얘기가 아니다. 왜 보른은 이러한 가설을 제시했으며 이 가설이 정확히 지칭하는 것에 대해 다뤄볼 예정이다. 이전 글에서 슈뢰딩거 방정식(S.. 공감수 0 댓글수 2 2022. 12. 31.
슈뢰딩거 방정식의 유도 드 브로이의 물질파 이론 : https://boringphys.tistory.com/4 드 브로이의 물질파 이론 이야기 빛의 본질에 대해서는 인류가 오랫동안 궁금해 왔었다. 대표적으로 뉴턴은 빛의 직진성을 예시로 들며 빛이 입자라고 주장했고 하위헌스는 회절 현상을 예시로 들어 파동이라고 주장했다. 하지 boringphys.tistory.com 지난 드 브로이의 물질파 이론 글에서 마지막에 물질파 입자의 운동 에너지 공식을 다음과 같이 구했었다. $$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{1}$$ 여기에 추가로 구했던 플랑크(Planck)의 파동 에너지 공식 \( E = \hbar \omega \)를 응용해서 식을 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다. $$ \hbar \omega = \frac.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 22.
드 브로이의 물질파 이론 이야기 빛의 본질에 대해서는 인류가 오랫동안 궁금해 왔었다. 대표적으로 뉴턴은 빛의 직진성을 예시로 들며 빛이 입자라고 주장했고 하위헌스는 회절 현상을 예시로 들어 파동이라고 주장했다. 하지만 19세기 말엽 플랑크, 아인슈타인, 콤프턴 등의 물리학자들에 의해서 빛은 입자와 파동의 성질을 둘 다 가지고 있음이 밝혀졌다. 빛의 본질에 대해서는 추후 다뤄보도록 하고 이러한 빛의 이중성을 보고 '사실은 다른 입자들도 파동의 성질을 가질 수 있지 않을까?'라는 질문이 드 브로이의 머릿속에 떠올랐다. 정확히 말해서 드 브로이는 아인슈타인의 '광양자 가설'로 X선의 특이한 성질을 설명할 수 있다는 이론을 듣고 이와 같은 질문을 떠올리게 됐다. 드 브로이는 일반 입자의 파동성에 대한 방정식을 세우고 이를 물질파(matter.. 공감수 2 댓글수 0 2022. 12. 12.

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