뉴턴 역학의 기초 - 기초 물리량(속도, 가속도, 운동량, 힘)

물리학의 목표는 물체의 운동을 기술하는 것이라고 할 수 있다. 외부의 어떤 자극에 대해서 세상이 어떻게 반응하는가를 알고 싶어하고 자극들을 분석해서 운동 방정식을 세운다.

 

 

그런데 운동이란 것은 시간에 대한 변화, 특히 위치 변화를 의미하므로 결국 변화의 정도를 기술하는 위치, 속도, 가속도 그리고 다른 운동을 표현할 수 있는 물리량들을 찾는 것이 핵심이 된다.

 

 

우리는 먼저 공간에 물체들이 위치하고 있고 시간이 변하면서 이들이 어떻게 변하는지를 궁금해한다. 물체의 위치를 표현하는데 있어서 숫자를 이용해 표현하는 편이 효과적이다.

 

3차원 공간에서 입자의 위치는 다음과 같은 위치 벡터를 이용해서 표현한다.

$$ \vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} + z\hat{z} \tag{1} $$

 

이때 거리(distance)는 \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)으로 주어진다.

 

 

이제 위치를 구했으므로 이 물체가 이동했을 경우 위치 변화를 구할 수 있다. 우리는 이것을 변위(displacement)라고 부른다. 위치 \(\vec{r}\)에서 \(\vec{r}^{\prime}\)으로 이동한 경우를 구해보자.

$$ \Delta \vec{r} = \vec{r}^{\prime} - \vec{r} = (x^{\prime} - x) \hat{x} + (y^{\prime} - y) \hat{y} + (z^{\prime} - z) \hat{z} \tag{2}$$

 

많은 경우 시작 위치 \(\vec{r}\)을 원점으로 놓고 보는 편이 문제를 푸는데 쉽다.

 

물체의 위치 변화를 구했지만 여기에는 시간에 대한 정보가 빠져있다. 이 변화가 얼마나 빨리 일어났는가를 알기 위해선 시간의 변화에 대한 위치 변화의 비율을 통해 이해하는 것이 가장 좋고 우리는 이를 평균 속도(mean velocity)라고 부른다.

$$ \Delta \vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{(x^{\prime} - x)}{\Delta t} \hat{x} + \frac{(y^{\prime} - y)}{\Delta t} \hat{y} + \frac{(z^{\prime} - z)}{\Delta t} \hat{z} = \Delta \vec{v}_x \hat{x} + \Delta \vec{v}_y \hat{y} + \Delta \vec{v}_z \hat{z} \tag{3} $$

 

 

하지만 평균 속도는 생각보다 큰 의미가 없는 물리량이다. 시작과 끝의 좌표만 이용해서 표현하기 때문에 중간 단계의 정보가 전부 빠져있다. 더 정확한 정보를 얻기 위해서는 시간의 간격을 짧게 만들어야하고 따라서 아주 짧은 시간 동안의 변화를 아는 것이 중요해진다. 이를 순간 속도 혹은 그냥 속도(velocity)라고 부르며 미분으로 표현된다.

$$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat{x} + \frac{dy}{dt} \hat{y} + \frac{dz}{dt} \hat{z} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z} \tag{4}$$

 

 

속도는 시간에 대한 위치의 변화를 의미하므로 물체의 운동을 나타낸다고 할 수 있다. 그리고 우리는 어떤 자극에 의해 운동의 변화를 보고 싶다. 해당 자극이 무엇인지 정확히 아는 것도 중요하지만 일단 먼저 자극에 의해 생기는 속도의 변화를 고려해보자, 시간에 대한 속도의 변화는 다음과 같이 표현된다.

$$\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = a_x \hat{x} + a_y \hat{y} + a_z \hat{z} \tag{5}$$

우리는 이 양을 가속도(acceleration)이라고 부른다.

 

아이작 뉴턴

 

뉴턴이 발견한 놀라운 사실은 서로 다른 물체에 같은 자극을 가하더라도 운동의 변화 정도가 각자 다르다. 즉, 모든 물체들은 외부 자극에 반응하는 정도가 다르다. 이에 대해서는 나중에 뉴턴 법칙을 다룰때 자세히 다뤄보고 그 반응하는 정도를 우리는 관성 질량(inertial mass) 혹은 그냥 질량이라고 부른다.

 

 

물체의 운동을 기술하는 데에는 속도와 가속도만으론 부족하고 물질의 고유한 특성인 질량까지 포함해야 한다. 따라서 정말로 물체의 운동을 대표하는 양을 정의할 수 있고 운동량(momentum)이라고 부른다.

$$\vec{p} = m \vec{v} = mv_x \hat{x} + mv_y \hat{y} + mv_z \hat{z} = p_x \hat{x} + p_y \hat{y} + p_z \hat{z} \tag{6}$$

 

 

마찬가지로 운동의 변화 정도에도 같은 방법을 사용하며 이 값을 통해서 운동 상태를 변화시킨 자극이 무엇인지를 알 수 있다. 우리는 이 물리량을 힘(force)라고 부른다. 이렇게 가장 유명한 물리학 공식 중 하나가 얻어진다.

$$\vec{F} = m \vec{a} = m a_x \hat{x} + m a_y \hat{y} + m a_z \hat{z} = F_x \hat{x} + F_y \hat{y} + F_z \hat{z} \tag{7}$$