드 브로이의 물질파 이론 이야기
빛의 본질에 대해서는 인류가 오랫동안 궁금해 왔었다. 대표적으로 뉴턴은 빛의 직진성을 예시로 들며 빛이 입자라고 주장했고 하위헌스는 회절 현상을 예시로 들어 파동이라고 주장했다.
하지만 19세기 말엽 플랑크, 아인슈타인, 콤프턴 등의 물리학자들에 의해서 빛은 입자와 파동의 성질을 둘 다 가지고 있음이 밝혀졌다.
빛의 본질에 대해서는 추후 다뤄보도록 하고 이러한 빛의 이중성을 보고 '사실은 다른 입자들도 파동의 성질을 가질 수 있지 않을까?'라는 질문이 드 브로이의 머릿속에 떠올랐다.
정확히 말해서 드 브로이는 아인슈타인의 '광양자 가설'로 X선의 특이한 성질을 설명할 수 있다는 이론을 듣고 이와 같은 질문을 떠올리게 됐다.
드 브로이는 일반 입자의 파동성에 대한 방정식을 세우고 이를 물질파(matter wave) 이론이라고 명명했다.
먼저 플랑크의 양자화 이론에 의하면 양자화된 빛은 다음과 같은 방정식을 따른다.
$$ E = h \nu \tag{1}$$
여기서 \( \nu \)는 빛의 진동수, h는 플랑크 상수를 의미한다.
또한 아인슈타인의 상대론적 에너지 공식 \( E^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \)에서 질량이 없는 입자는 다음과 같은 식을 따르게 된다.
$$ E = pc \tag{2} $$
식 (1)과 (2)과 빛의 속도 공식 \( c = \lambda \nu \) 연립하면 다음과 같은 운동량-파장(\(\lambda\)) 관계식을 얻을 수 있다.
$$ p = \frac{E}{c} = \frac{h \nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \tag{3}$$
질량이 0이 아닌 입자의 경우 운동량을 \(p = mv\)라고 놓을 수 있으므로 다음과 같이 입자 파동의 파장을 구할 수 있다.
$$\lambda = \frac{h}{mv} \tag{4}$$
드 브로이는 이 식으로 나타낸 입자의 파동을 물질파라고 제안했다.
또한 파수 공식 \(k = \frac{2 \pi}{\lambda}\)와 각운동량 공식 \(\omega = 2 \pi \nu\)를 이용해서 입자의 에너지와 운동량도 파동에 대한 식으로 바꾸어 쓸 수 있다.
$$ E = h \nu = \frac{h}{2\pi} \omega = \hbar \omega \tag{5}$$
$$ p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2\pi} k = \hbar k \tag{6}$$
$$ \omega = 2 \pi \frac{c}{\lambda} = \frac{c}{k} \tag{7}$$
식 (7)은 빛의 속도 공식을 이용했다.
이 관계식들은 분산 관계(dispersion relation)이라고 불리며 슈뢰딩거 방정식을 유도할 때 요긴하게 쓰이거나 혹은 브릴루앙 영역과 같은 운동량 공간을 이용하는 물리계에서 도움이 되는 공식이다.
마지막으로 식 (6)을 이용해서 고전적인 운동 에너지에 대한 식을 바꾸어 쓸 수 있다.
$$ E = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{8}$$
이 식이 슈뢰딩거 방정식을 유도하는데 핵심적인 역할을 한다.