에르미트 연산자와 반에르미트 연산자

이번 글에서는 본격적으로 양자역학(quantum mechanics)에서 사용하는 연산자(operator)들이 가지는 가장 중요한 성질에 대해서 알아보고자 한다.

 

우선 지난 글에서 어떤 행렬(matrix)에 전치(transpose)를 취한 뒤 각 성분을 켤레복소수(complex conjugate)로 바꿔주는 수반(adjoint) 작용에 대해서 알아봤다.

 

어떤 행렬이 어떤 브라 벡터(bra vector)에 작용하는 것에 수반 작용을 가하면 해당 행렬의 수반 행렬(adjoint matrix)이 해당 브라 벡터에 대응되는 켓 벡터(ket vector space)에 작용하는 것이 동등함을 보였다.

 

글의 말미에서 이러한 작용은 힐베르트 벡터 공간(Hilbert vector space)에서 내적(inner product)를 정의하기 위해 필요한 일이라고 했었다.

 

그러나 브라 공간이나 켓 공간이나 결국 내적을 정의하기 위한 도구일 뿐 물리적으로는 서로 대응되는 벡터와 그 벡터에 작용하는 연산자들은 같은 현상을 기술해야 한다.

 

 

보른(Born)의 확률 해석을 따르면 파동 함수(wave function)의 절대값(absolute value)의 제곱은 확률 밀도 함수(probability density function)을 의미한다.

 

어떤 연산자 $\Omega$에 대해서 이 연산자의 행렬 성분은 $\Omega_{ij} = \left< i \right| \Omega \left| j \right>$로 표현이 됐었다.

 

여기에 보른의 해석을 첨가하면 이는 어떤 연산에 의해 $\left| j \right>$로 기술되는 물리적 상태(state)가 $\left< i \right|$로 기술되는 상태로 변화할 확률을 의미한다.

 

만약 $i = j$라면 연산자 $\Omega$로 표현되는 어떤 물리량이 측정될 확률을 의미한다. 자세한 내용은 이후 글에서 다룰 예정이며 이번엔 그냥 받아들이도록 하고 논의를 진행해보자.

 

 

확률은 그 정의상 실수(real number)이기 때문에 실수에는 수반 작용을 가한다 해도 변화하지 않는다. 따라서 다음과 같은 성질이 만족한다.

$$ \left( \left< i \right| \Omega \left| i \right> \right)^{\dagger} = \left< i \right| \Omega^{\dagger} \left| i \right> = \left< i \right| \Omega \left| i \right> \tag{1}$$

 

식 (1)에서 아주 중요한 성질이 하나 나타난다. 양자역학의 확률 해석이 말이 되려면 물리량을 기술하는 연산자들은 $\Omega = \Omega^{\dagger}$인 성질 만족해야 한다는 의미이다.

 

이러한 성질을 가지는 행렬들을 에르미트 행렬(Hermitian matrix)라고 부른다.

 

가장 대표적인 에르미트 행렬로 파울리 스핀 행렬(Pauli's spin matrix)가 있으며 다음과 같은 세 행렬은 수반 작용을 가해도 행렬이 그대로 있음을 쉽게 알 수 있다.

$$\begin{split} \sigma_x = & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \sigma_y = & \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\ \sigma_z = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}  \end{split} \tag{2}$$

 

샤를 에르미트

 

반대로 $\Omega = - \Omega^{\dagger}$인 성질을 만족하는 행렬들을 추가로 생각해볼 수 있으며 이러한 행렬들을 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)라고 부른다.

 

수반 작용을 켤레 복소수를 취하는 작용에 대응시켜 본다면 에르미트 행렬은 실수에 대응되며 반에르미트 행렬은 순허수(pure imaginary number)에 대응됨을 알 수 있다.

 

어떤 임의의 복소수(complex number)는 다음과 같이 실수와 순허수로 분해할 수 있다.

$$ z = \frac{z + z^*}{2} + \frac{z - z^*}{2} \tag{3}$$

 

켤레 복소수의 성질상 앞의 식은 순허수가 됨을 알 수 있고 뒷 식은 순허수가 됨을 알 수 있다.

 

이러한 성질을 고스란히 대응시켜 임의의 어떤 연산자도 에르미트 행렬과 반에르미트 행렬로 분해할 수 있다.

$$\Omega = \frac{\Omega + \Omega^{\dagger}}{2} + \frac{\Omega - \Omega^{\dagger}}{2} \tag{4}$$

 

수반 행렬과 수반 연산자

왜 확률이었는가? 보른의 확률 해석

양자역학의 기초 - 행렬과 연산자