행렬식의 성질과 표현 - 행렬식 곱셈 정리

 

이번 글에서는 행렬(matrix)과 행렬식(determinant)을 다루는데 유용한 정리인 행렬식 곱셈 정리(determinant product theorem)를 보이려고 한다.

 

행렬식 곱셈 정리는 간단하게 말해서 $n \times n$인 두 행렬 $A$와 $B$가 있을 때 이 두 행렬을 곱해 만들어진 새로운 행렬 $AB$의 행렬식은 어떻게 구할 수 있는가에 대한 정리를 말한다.

 

사실 두 행렬을 그냥 곱한 다음 행렬식 구하는 방법을 이용해서 구하면 그만이다. 그런데 왜 따로 이런 정리가 필요할까? 먼저 이전 글에서 행렬 $AB$를 살펴보자.

 

$$ \begin{split} AB = & \\ & \begin{pmatrix} A_{11} B_{11} + \cdots + A_{1n} B_{n1} & A_{11} B_{12} + \cdots + A_{1n} B_{n2} & \cdots & A_{11} B_{1n} + \cdots + A_{1n} B_{nn} \\ A_{21} B_{11} + \cdots + A_{2n} B_{n1} & A_{21} B_{12} + \cdots + A_{2n} B_{n2} & \cdots & A_{21} B_{1n} + \cdots + A_{2n} B_{nn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} B_11 + \cdots + A_{nn} B_{n1} & A_{n1} B_{12} + \cdots + A_{nn} B_{n2} & \cdots & A_{n1} B_{n1} + \cdots + A_{nn} B_{nn} \end{pmatrix} \end{split} \tag{1}$$

 

딱 봐도 알 수 있는 것은 행렬의 차수(order)가 커질 수록 $AB$ 행렬식을 구하기가 무척 어려워진다는 것이다. 열심히 계산하면 가능하겠지만 적어도 계산량이 어마어마함은 분명하다.

 

 

그래서 특정한 경우에 이 행렬식을 쉽게 구하는 방법이 있다. 조건은 $\det{A}$와 $\det{B}$를 미리 알고 있어야 한다. 혹은 두 행렬의 행렬식이 비교적 구하기 쉬울 경우 사용하면 유용하다.

 

먼저 행렬식의 부가적인 성질에서 행렬식 내부의 덧셈들은 다음과 같이 분리가 가능했음을 상기시켜 보자.

$$ \begin{vmatrix} a_{11} + b_1 & a_{12} + b_2 & a_{13} + b_3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \tag{2}$$

 

또한 행렬식의 한 줄에 일정한 상수가 곱해질 경우 다음과 같이 행렬식이 주어짐도 같이 상기하자.

$$\begin{vmatrix} c a_{11} & c a_{12} & c a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \tag{3}$$

 

식 (2)를 이용해서 하나하나 식 (1) 행렬식을 분해할 수 있다. 이 작업을 일일히 타이핑을 한다면 가독성이 매우 떨어지기 때문에 간단한 $3 \times 3$ 행렬부터 보이려 한다. 이 경우 식 (1)의 행렬식은 다음과 같다.

$$ \begin{vmatrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} + A_{13} B_{31} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} + A_{13} B_{32} & A_{11} B_{13} + A_{12} B_{23} + A_{13} B_{33} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} + A_{23} B_{31} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} + A_{23} B_{32} & A_{21} B_{13} + A_{22} B_{23} + A_{23} B_{33} \\ A_{31} B_{11} + A_{32} B_{21} + A_{33} B_{31} & A_{31} B_{12} + A_{32} B_{22} + A_{33} B_{32} & A_{31} B_{13} + A_{32} B_{23} + A_{33} B_{33} \end{vmatrix} \tag{4}$$

 

이제 다음과 같은 벡터를 정의해보자.

$$ \vec{A}_j = \begin{pmatrix} A_{1j} \\ A_{2j} \\ A_{3j} \end{pmatrix} \tag{5}$$

 

그렇다면 식 (4)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\det{AB}_{3 \times 3} = \begin{vmatrix} \sum_{j_1 = 1}^3 \vec{A}_{j_1} b_{j_11} & \sum_{j_2 = 1}^3 \vec{A}_{j_2} b_{j_2 2} & \sum_{j_3 = 1}^1 \vec{A}_{j_3} b_{j_3 3} \end{vmatrix} \tag{6}$$

 

이제 식 (6)를 식 (2)와 (3)을 이용해서 분해해보면 각각의 가능한 조합들을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

$$\det{AB}_{3 \times 3} = \sum_{j_1 = 1}^3 \sum_{j_2 = 1}^3 \sum_{j_3 = 1}^3 b_{j_1 1} b_{j_2 2} b_{j_3 3} \det{(\vec{A}_{j_1} \vec{A}_{j_2} \vec{A}_{j_3})} \tag{7}$$

 

이때 행렬식 기호 안의 벡터를 나열한 것은 벡터를 나열한 행렬을 의미한다. 다음과 같은 예시들을 표현한 것이다.

$$ \vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3 = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{23} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} \tag{8} $$

$$ \vec{A}_2 \vec{A}_3 \vec{A}_2 = \begin{pmatrix} A_{21} & A_{31} & A_{21} \\ A_{22} & A_{32} & A_{22} \\ A_{23} & A_{33} & A_{23} \end{pmatrix} \tag{9}$$

 

 

그런데 행렬식의 성질에서 식 (9)와 같은 행렬의 행렬식은 $0$이 된다. 이는 행렬식의 교차 성질을 이용해서 보일 수 있다. 두 행이나 열을 서로 교환할 경우 행렬식에 $-1$이 추가로 곱해졌었다.

 

식 (9)의 첫째 열과 셋째 열을 교환할 경우 행렬은 변화가 없다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

$$\det{ (\vec{A}_2 \vec{A}_3 \vec{A}_2) } = \det{(\vec{A}_2 \vec{A}_3 \vec{A_2} )} \tag{10}$$

 

그러나 행을 교환할 경우 행렬식에 $-1$이 곱해지므로 이를 정리해서 다시쓰면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\det{ (\vec{A}_2 \vec{A}_3 \vec{A}_2) } = -\det{(\vec{A}_2 \vec{A}_3 \vec{A_2} )} \tag{11}$$

 

식 (10)과 식 (11)이 성립하기 위해선 행렬식이 $0$이 될 수 밖에 없다.

 

 

이제 식 (7)을 가능한 조합에 따라 나열해보자.

$$\begin{split} \sum_{j_1 = 1}^3 \sum_{j_2 = 1}^3 \sum_{j_3 = 1}^3 b_{j_1 1} b_{j_2 2} b_{j_3 3}  \det{(\vec{A}_{j_1} \vec{A}_{j_2} \vec{A}_{j_3})} \\ = & b_{11} b_{22} b_{33}  \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} + b_{11} b_{32} b_{23} \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_3 \vec{A}_2)} \\ & + b_{21} b_{12} b_{33} \det{(\vec{A}_2 \vec{A}_1 \vec{A}_3)} + b_{21} b_{32} b_{13} \det{(\vec{A}_2 \vec{A}_3 \vec{A}_1)} \\ & + b_{31} b_{12} b_{23} \det{(\vec{A}_3 \vec{A}_1 \vec{A}_2)} + b_{31} b_{22} b_{13} \det{(\vec{A}_3 \vec{A}_2 \vec{A}_1)} \end{split} \tag{12}$$

 

이번엔 위에서 행렬식의 열을 교환할시 $-1$이 더 곱해지는 원리를 이용해서 $\det{A} = \det{( \vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3 )}$의 형태로 바꿔보자.

$$\begin{split} \sum_{j_1 = 1}^3 \sum_{j_2 = 1}^3 \sum_{j_3 = 1}^3 b_{j_1 1} b_{j_2 2} b_{j_3 3}  \det{(\vec{A}_{j_1} \vec{A}_{j_2} \vec{A}_{j_3})} \\ = & b_{11} b_{22} b_{33}  \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} - b_{11} b_{32} b_{23} \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} \\ & - b_{21} b_{12} b_{33} \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} + b_{21} b_{32} b_{13} \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} \\ & + b_{31} b_{12} b_{23} \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} - b_{31} b_{22} b_{13} \det{(\vec{A}_1 \vec{A}_2 \vec{A}_3)} \\ = & \sum_{j_1 = 1}^3 \sum_{j_2 = 1}^3 \sum_{j_3 = 1}^3 \varepsilon_{j_1 j_2 j_3} b_{j_1 1} b_{j_2 2} b_{j_3 3} \det{A} \end{split} \tag{13}$$

 

그런데 식 (13)의 마지막 줄에서 \det{A}는 $A$라는 행렬에 의해 주어지는 행렬식으로 정해진 상수 역할을 하기 때문에 합기호와는 서로 독립적(independent)이다.

 

거기에 남은 상수 $b_{j_n n}$ 꼴의 합산을 보면 이는 $\det{B}$의 정의와 일치한다. 따라서 최종적으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\det{A B}_{3 \times 3} = \det{A} \det{B} \tag{14}$$

 

식 (14)가 얻고자했던 행렬식의 곱셈 정리이다. 이를 $n \times n$ 행렬에 대해서도 똑같은 과정을 거쳐서 일반화 시키면 다음과 같은 관계식으로 변하게 된다.

$$\begin{split} \det AB = & \begin{vmatrix} \sum_{j_1=1}^n \vec{A}_{j_1} b_{j_1 1} & \sum_{j_2 = 1}^n \vec{A}_{j_2} b_{j_2 2} & \cdots & \sum_{j_n = 1}^n \vec{A}_n b_{j_n n} \end{vmatrix} \\ = & \sum_{j_1 = 1}^n \sum_{j_2 = 1}^n \cdots \sum_{j_n = 1}^n \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} b_{j_1 1} b_{j_2 2} \cdots b_{j_n n} \det{A} \\ = & \det{A} \det{B} \end{split} \tag{15}$$

 

 

이 정리를 이용해서 역행렬(inverse matrix)의 행렬식을 구하는 공식도 만들어낼 수 있다. 바로 항등 행렬(identity matrix)의 행렬식이 $1$이라는 사실을 이용한다.

$$\det{(A A^{-1})} = \det{I} = 1 \tag{16}$$

$$\det{(A A^{-1})} = \det{A} \det{A^{-1}} \tag{17}$$

 

따라서 역행렬의 행렬식은 다음과 같이 원래 행렬의 행렬식의 역수가 됨을 알 수 있다.

$$\det{A^{-1}} = \frac{1}{\det A} \tag{18}$$

 

추가적으로 $\det{A} = 0$인 행렬의 경우 식 (18)에 의해서 역행렬의 행렬식이 존재하지 않고 더 나아가 역행렬이 존재하지 않는다고 결론내릴 수 있다.

 

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