행렬의 기초 - 역행렬

 

이전에 행렬(matrix)의 곱셈에 대한 항등원(identity)를 다뤘었다. 이 항등원을 단위 행렬(unit matrix)라고 부르고 대각 성분(diagonal element)가 전부 $1$이고 나머지 성분은 $0$인 행렬이었다.

 

항등원이 존재하기 때문에 행렬의 곱셈에 대한 역원(inverse)가 존재하는데 문제는 이 역원을 쉽사리 구할 수 없다. 그래서 긴 시간동안 역원을 유도하기 위한 성질들을 다뤘었다.

 

연산에서 역원이라는 것은 어떤 행렬 $A$와 $A$의 역원 $A^{-1}$이 존재해서 $A$와 $A^{-1}$을 곱할 경우 단위 행렬이 나와야 하는 행렬을 의미한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A{A}^{-1}=I\end{array}$$ 

 

식 (1)은 행렬 곱셈의 특성상 정사각 행렬(square matrix)에서 가능한 계산이다. 그렇다면 실제로 이러한 행렬이 존재할 수 있는지 그리고 어떻게 구해야 하는지 다뤄보자.

 

 

먼저 시작은 크레머 법칙(Cramer's rule)에서 했었듯이 어떤 연립 방정식 문제를 행렬을 이용해서 표현해보자.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& A\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{m}_1\\ m_2\\ ⋮\\ m_n\end{array}\right)=\overrightarrow{m}\end{array}$$

 

$A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재해서 식 (2)의 양변에 이 역행렬을 곱해주자. 그러면 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A^{-1}A\overrightarrow{x}=I\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{m}\end{array}$$

 

아직까지 역행렬이 어떤 행렬인지는 자세히 알 수 없지만 적어도 식 (3)을 만족하기 위해선 $n\times n$ 행렬이어야 함은 명백하다. 따라서 뭔진 모르지만 다음과 같이 표현해보자.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\prime }& a_{12}^{\prime }& \cdots & a_{1n}^{\prime }\\ a_{21}^{\prime }& a_{22}^{\prime }& \cdots & a_{2n}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}^{\prime }& a_{n2}^{\prime }& \cdots & a_{nn}^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{m}_1\\ m_2\\ ⋮\\ m_n\end{array}\right)=A^{-1}\overrightarrow{m}\end{array}$$

 

 

그런데 $\overrightarrow{x}$의 각 성분들은 크레머 법칙을 이용해서 구할 수 있다. 대표적으로 $x_1$을 생각해보자.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& x_1=\frac{1}{D}\left|\begin{array}{cccc}{m}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ m_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

이번엔 행렬식(determinant) 계산법을 통해서 식 (5)에 있는 행렬식을 전개해보자.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& x_1=\frac{1}{D}[m_1\left|\begin{array}{cccc}{a}_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|-m_2\left|\begin{array}{cccc}{a}_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\cdots ]\end{array}$$

 

식 (4)와 연계해주면 다음과 같은 식이 만들어진다.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{ccc}{x}_1& =& a_{11}^{\prime }{m}_1+a_{12}^{\prime }{m}_2+\cdots +a_{1n}^{\prime }{m}_n\\ & =& \frac{1}{D}[m_1\left|\begin{array}{cccc}{a}_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|-m_2\left|\begin{array}{cccc}{a}_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\cdots ]\end{array}\end{array}$$

 

식 (7)에서 각각 $m_k$에 비례하는 상수가 같아야 한다. 따라서 크레머 법칙에서 나오는 행렬식이 역행렬의 성분이 됨을 알 수 있다. 나머지 $x_i$에 대해서도 마찬가지를 생각해줄 수 있다.

 

 

이제 크레머 법칙으로 돌아가서 역행렬 성분의 특징을 생각해보자. 행렬식을 만들 때 $x_i$의 경우 $i$열을 행렬식의 성질을 잘 이용해서 $m_k$들로 바꿨다.

 

그다음 $i$열을 기준으로 행렬식 전개를 해주면 여인수(cofactor)의 행렬식들이 각각 $m_k$의 계수(coefficient)들이 되며 이 값이 역행렬의 성분이 된다. 즉, 역행렬의 성분은 여인수와 관계가 있다.

 

이를 토대로 생각해보면 역행렬의 $i$행 $k$열 성분 $a_{ik}^{\prime }$는 $m_k$의 계수가 되고 이 계수는 원래 행렬의 $i$열을 기준으로 했을 때 짠 행렬식의 전개에서 $m_k$의 계수가 된다는 뜻이다.

 

근데 이 성분은 원래 행렬의 $k$행 $i$열 성분의 여인수가 된다. 여기에 행렬식을 전개하는 과정에서 치환군(permutation)을 고려해서 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& a_{ik}^{\prime }=\frac{(-1{)}^{i+k}}{D}{C}_{ki}\end{array}$$

식 (7)의 앞부분에 행렬식으로 나눈 항이 있음을 잊지 말자.

 

전치 행렬(tanspose matrix)는 행렬식의 값이 바뀌지 않는다. 따라서 여인수 행렬의 행렬식도 변하지 않게 되므로 다음과 같이 식 (8)이 정리된다.

$$\begin{array}{}\text{(9)}& a_{ik}^{\prime }=(-1{)}^{i+k}{C}_{ik}^T\end{array}$$

 

 

이를 토대로 가장 대표적인 다음과 같은 $2\times 2$ 역행렬 공식을 만들어보자.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\end{array}$$

 

이 식의 행렬식을 구하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& detA=ad-bc\end{array}$$

 

$a$의 여인수는 $d$이고 치환군이 배정하는 숫자는 $1$이다. 마찬가지로 계속하면 $b$의 여인수는 $c$이고 치환군은 $-1$, $c$의 여인수는 $b$, 치환군은 $-1$, $d$의 여인수는 $a$, 치환군은 $1$이다.

 

역행렬의 $1$행 $1$열 성분은 $a$의 전치 성분의 여인수이며 이 경우 $a$는 전치를 취해봤자 변하지 않는 대각 성분이기 때문에 여인수는 $d$다. 여기에 치환군을 곱하면 된다.

 

$1$행 2열 성분의 경우 $b$의 전치 성분 $c$의 여인수 $b$가 역행렬 성분과 관련되고 여기에 치환군 $-1$을 곱한 $-b$가 역행렬의 성분이다. 이런 행동을 모든 성분에 대해 반복해서 역행렬을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(12)}& A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{d}{ad-bc}& \frac{-b}{ad-bc}\\ \frac{-c}{ad-bc}& \frac{a}{ad-bc}\end{array}\right)=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\end{array}$$

 

실제로 식 (12)에서 구한 역행렬을 $A$와 곱해주면 단위 행렬이 나와서 역행렬이 맞음을 알 수 있다.

 

 

또한 행렬식을 고려하지 않고 $A$ 행렬의 각 성분의 여인수로 만든 여인수 행렬에 치환군까지 적용시킨 행렬을 생각할 수 있다. 이 행렬을 수반 행렬(adjoint matrix)이라고 표현하며 다음과 같이 표현한다.

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A}{)}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}={\mathrm{C}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

 

이제 이 표현법을 사용해서 역행렬을 수반 행렬로 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(14)}& A^{-1}=\frac{1}{detA}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{A})\end{array}$$

 

 

마지막으로 우리가 역행렬을 구하는 과정에서 크레머 법칙을 자연스럽게 사용했다. 그러나 행렬식이 $0$인 경우 크레머 법칙은 사용할 수 없고 실제로 이런 행렬의 경우 역행렬을 생각할 수 없다.

 

그래서 행렬식을 먼저 구해서 다루고자 하는 행렬이 역행렬이 존재하는가 안 하는가를 따져야 하며 특히 역행렬이 존재하는 행렬, 다시 말해서 행렬식이 $0$이 아닌 행렬을 가역 행렬(invertible matrix) 혹은 정칙 행렬(regular matrix)라고 부른다.

 

행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식

행렬식의 성질과 표현 - 크래머 법칙

행렬의 기초 - 여인수 행렬과 전치 행렬