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행렬식의 성질과 표현 - 크래머 법칙

방구석물포자 2023. 3. 10. 15:50
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이번엔 행렬식(determinant)을 이용해서 선형 연립 방정식(linear simultaneous equation)을 푸는 방법인 크래머 법칙(Cramer's rule)을 알아보자.

 

먼저 n개의 변수(variable)로 이루어진 1차 방정식들의 경우 연립해서 모든 변수들의 해를 구하기 위해선 또다른 n1개의 1차 방정식들이 더 필요하다. 그래서 총 n개의 1차 방정식이 있어야 연립 방정식을 풀 수 있다.

 

따라서 다음과 같은 n개 변수로 이루어진 n개의 식을 만들 수 있다.

(1)a11x1+a12x2++a1nxn=m1a21x1+a22x2++a2nxn=m2an1x1+an2x2++annxn=mn

 

 

식 (1)의 형태만 봐도 바로 눈치챌 수 있겠지만 저 많은 개수의 식의 계수들을 모아서 n×n 행렬을 만들면 한 식으로 통합해서 다룰 수 있게 된다.

(2)(a11a12a1na21a22a2nan1an2ann)(x1x2xn)=(m1m2mn)

 

다만 통합해서 생각할 수 있게 되었을 뿐 아직까지 변수들의 값은 구할 수 없다. 기본적으로 연립 방정식을 풀기 위해선 한 방정식을 방정식에 존재하는 특정 변수에 대한 식으로 바꿔 쓴 다음 다른 식들에 대입해서 점점 변수를 소거해 나가는 방식으로 푼다.

 

하지만 이 방법은 항의 개수가 많을수록 점점 복잡해지고 이 경우 식 (2)의 행렬이 점점 커지면서 다루기 어려워 짐을 알 수 있다.

 

 

여기서 행렬식의 성질을 이용하면 비교적 쉽게 다뤄볼 수 있다. 일단 계수들로 이루어진 n×n 행렬의 행렬식을 생각해보자.

(3)D=|a11a12a1na21a22a2nan1an2ann|

 

식 (3)에 x1을 곱하면 행렬식의 성질에 의해 다음과 같다.

(4)x1D=|a11x1a12a1na21x1a22a2nan1x1an2ann|

 

이번엔 식 (3)에서 약간 변형을 해서 1열(column)을 또 다른 열이 중복되도록 바꿔보자. 대표적으로 2열을 중복시켜 바꿔보면 다음과 같다.

(5)D=|a21a22a2na21a22a2nan1an2ann|

 

이제 식 (5)의 2열과 1열을 교차해보자. 그럼 한 번 교차한 것이기 때문에 행렬식에는 1이 곱해지는데 문제는 식 (5)에서 실제로 두 열을 교차했을 경우 변화가 없음을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.

(6)D=D

이를 만족하기 위해서 D=0임을 알 수 있다.

 

따라서 식 (5)에 x2를 곱해서 다음과 같은 행렬식을 만들 수 있다.

(7)x2D=0=|a21x2a22a2na21x2a22a2nan1x2an2ann|

 

 

이와 같은 방식으로 다른 열과 1열을 중복시킨 행렬들을 만들어도 그 행렬식은 0이되고 이렇게 만들어진 행렬식들을 식 (4)에 더해버리면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(8)x1D=|a11x1+a12x2++a1nxna12a1na21x1+a22x2++a2nxna22a2nan1x1+an2x2++annxnan2ann|

식 (8)에서 1열에 x1에 의존하는 항을 뺀 나머지 추가로 들어온 항들은 0임을 상기하자.

 

그런데 식 (8)에서 1열들은 식 (1)에서 썼었던 1차 방정식들이었다. 따라서 식 (8)은 다음과 같이 써지게 된다.

(9)x1D=|m1a12a1nm2a22a2nmnan2ann|

 

식 (9)에서 행렬식 D는 어떤 숫자이기 때문에 그냥 나줘주면 다음과 같이 x1의 값을 구할 수 있다.

(10)x1=1D|m1a12a1nm2a22a2nmnan2ann|

 

이를 다른 변수에 대해서도 마찬가지로 적용시켜 풀 수 있고 이런 연립 방정식의 해를 구하는 방법 크레머 법칙(Cramer's rule)이라고 부른다.

 

다만 크레머 법칙을 쓸 때 항상 주의해야 할 점은 이 식을 유도하는데 있어서 가정한 것은 D0이라는 점이다. 그래서 먼저 구하려는 행렬이 이 성질을 가지는가를 확인해야 크레머 법칙의 순서를 따라갈 수 있다.

 

 

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