행렬식의 성질과 표현 - 크래머 법칙

이번엔 행렬식(determinant)을 이용해서 선형 연립 방정식(linear simultaneous equation)을 푸는 방법인 크래머 법칙(Cramer's rule)을 알아보자.

 

먼저 $n$개의 변수(variable)로 이루어진 1차 방정식들의 경우 연립해서 모든 변수들의 해를 구하기 위해선 또다른 $n-1$개의 1차 방정식들이 더 필요하다. 그래서 총 $n$개의 1차 방정식이 있어야 연립 방정식을 풀 수 있다.

 

따라서 다음과 같은 $n$개 변수로 이루어진 $n$개의 식을 만들 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& m_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& m_2\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n& =& m_n\end{array}\end{array}$$

 

 

식 (1)의 형태만 봐도 바로 눈치챌 수 있겠지만 저 많은 개수의 식의 계수들을 모아서 $n\times n$ 행렬을 만들면 한 식으로 통합해서 다룰 수 있게 된다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{m}_1\\ m_2\\ ⋮\\ m_n\end{array}\right)\end{array}$$

 

다만 통합해서 생각할 수 있게 되었을 뿐 아직까지 변수들의 값은 구할 수 없다. 기본적으로 연립 방정식을 풀기 위해선 한 방정식을 방정식에 존재하는 특정 변수에 대한 식으로 바꿔 쓴 다음 다른 식들에 대입해서 점점 변수를 소거해 나가는 방식으로 푼다.

 

하지만 이 방법은 항의 개수가 많을수록 점점 복잡해지고 이 경우 식 (2)의 행렬이 점점 커지면서 다루기 어려워 짐을 알 수 있다.

 

 

여기서 행렬식의 성질을 이용하면 비교적 쉽게 다뤄볼 수 있다. 일단 계수들로 이루어진 $n\times n$ 행렬의 행렬식을 생각해보자.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

식 (3)에 $x_1$을 곱하면 행렬식의 성질에 의해 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x_{1}D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}{x}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}{x}_1& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}{x}_1& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

이번엔 식 (3)에서 약간 변형을 해서 $1$열(column)을 또 다른 열이 중복되도록 바꿔보자. 대표적으로 $2$열을 중복시켜 바꿔보면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& D^{\prime }=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

이제 식 (5)의 $2$열과 $1$열을 교차해보자. 그럼 한 번 교차한 것이기 때문에 행렬식에는 $-1$이 곱해지는데 문제는 식 (5)에서 실제로 두 열을 교차했을 경우 변화가 없음을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& D^{\prime }=-D^{\prime }\end{array}$$

이를 만족하기 위해서 $D^{\prime }=0$임을 알 수 있다.

 

따라서 식 (5)에 $x_2$를 곱해서 다음과 같은 행렬식을 만들 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& x_2{D}^{\prime }=0=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{21}{x}_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ a_{21}{x}_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}{x}_2& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

 

이와 같은 방식으로 다른 열과 $1$열을 중복시킨 행렬들을 만들어도 그 행렬식은 $0$이되고 이렇게 만들어진 행렬식들을 식 (4)에 더해버리면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& x_{1}D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

식 (8)에서 $1$열에 $x_1$에 의존하는 항을 뺀 나머지 추가로 들어온 항들은 $0$임을 상기하자.

 

그런데 식 (8)에서 $1$열들은 식 (1)에서 썼었던 1차 방정식들이었다. 따라서 식 (8)은 다음과 같이 써지게 된다.

$$\begin{array}{}\text{(9)}& x_{1}D=\left|\begin{array}{cccc}{m}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ m_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

식 (9)에서 행렬식 $D$는 어떤 숫자이기 때문에 그냥 나줘주면 다음과 같이 $x_1$의 값을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& x_1=\frac{1}{D}\left|\begin{array}{cccc}{m}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ m_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

이를 다른 변수에 대해서도 마찬가지로 적용시켜 풀 수 있고 이런 연립 방정식의 해를 구하는 방법 크레머 법칙(Cramer's rule)이라고 부른다.

 

다만 크레머 법칙을 쓸 때 항상 주의해야 할 점은 이 식을 유도하는데 있어서 가정한 것은 $D\ne 0$이라는 점이다. 그래서 먼저 구하려는 행렬이 이 성질을 가지는가를 확인해야 크레머 법칙의 순서를 따라갈 수 있다.

 

행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질

행렬식의 성질과 표현 - 행렬 성분의 교차