행렬식의 성질과 표현 - 라이프니츠 공식, 행렬식 곱셈

1. 라이프니츠 공식(Leibniz formula)
어떤 행렬
전체적인 계산은 지난 행렬식 글에서와 동일하기 때문에 바로 공식만 사용한다.
여기서
원소가 3개인 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.
특히 식 (2)의 집합 중 숫자가 순서대로 나열된
여기서 부호 함수(sign function)
사실 이 방법이 레비-시비타 기호(Levi-Civita symbol)을 만드는 중요 원리가 된다. 저 모든 복잡한 과정을 한 기호로 축약 시킨 것이 된다.
실제로
먼저
나머지 짝수 치환에 대해서도 적용하면 다음과 같다.
홀수 치환들에 대해선 다음과 같다.
따라서 최종적으로 다음과 같이 정리가 되며 공식이 실제 행렬식과 잘 일치한다.

2. 행렬식의 곱셈
이번엔 행렬식이 가지는 특성 중 우리가 먼저 유용하게 사용할 계산 법칙을 소개한다. 행렬
이 공식을 유도하는 것은 라이프니츠 공식을 이용해서 복잡한 과정을 거쳐야 한다. 먼저
곱기호(product)와 합기호(summation)의 순서를 바꿔보자. 더하고 곱하는 행동과 곱하고 더하는 행동은 서로 교환(commute)이 안되지만 이를 등호가 성립하도록 잘 처리한 어떤
따라서 식 (12)를 다음과 같은 공식으로 정리할 수 있다.
그리고 마지막으로 합기호는 서로 교환 가능하므로 다음과 같이 정리할 수 있다.
곱기호는 단순하게 서로 분리가 가능하므로 다음과 같이 써보자.
이번엔
이 과정을 거꾸로 간다면 결국
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