라그랑주 역학 - 라그랑지안

지난번 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)를 통해 우리가 최소화해야하는 양 라그랑지안(Lagrangian)을 유도해보도록 하겠다.

 

먼저 달랑베르 원리에서 만든 일반화된 좌표(generalized coordinates)를 이용해서 앞서 사용했던 가상 변위(virtual displacement)를 정의할 때 사용한 좌표계를 바꿔 쓰자.

$$\vec{r}_i = \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n; t) \tag{1}$$

 

이 좌표계에서의 속도는 연쇄 법칙(chain rule)을 이용해서 구할 수 있다.

$$ \vec{v}_i = \frac{d \vec{r}_i}{dt} = \sum_k \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} \tag{2}$$

 

가상 변위는 변분법(calculus of variations)을 이용해서 구할 수 있다.

$$\begin{matrix} \delta \vec{r}_i & = & \vec{r}_i (q_1 + \delta q_1, q_2 + \delta q_2, \cdots, q_n + \delta q_n; t) - \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n; t) \\ & = & \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n ; t) + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_1} \delta q_1 + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_2} \delta q_2 + \cdots + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_n} \delta q_n - \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n; t) \\ & = & \sum_{k = 1}^n \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k \end{matrix} \tag{3}$$

여기서 테일러 전개(Taylor expansion)이 사용됐다.

 

 

이제 가상 일(virtual work)를 식 (3)의 결과를 이용해서 바꿔 써 보자.

$$\sum_i \vec{F}_i \delta \vec{r}_i = \sum_{i} \sum_k \vec{F}_i \cdot \frac{\vec{\partial \vec{r}_i}}{\partial q_k} \delta q_k = \sum_k Q_k \delta q_k \tag{4}$$

 

식 (4)에서 새롭게 나타난 \( Q_k \)를 일반화된 힘(generalized force)라고 부른다.

$$ Q_k = \sum_i \vec{F}_i \cdot \frac{\vec{r}_i}{\partial q_k} \tag{5}$$

 

이번엔 잠시 달랑베르 원리의 식을 가져와서 일반화된 좌표로 바꿔써보자.

$$\sum_i \left( \vec{F}_i^{(a)} - \dot{\vec{p}}_i \right) \cdot \delta \vec{r}_i = \sum_i \sum_k \left( \vec{F}_i^{(a)} - \dot{\vec{p}}_i \right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k = 0 \tag{6}$$

 

식 (4)를 식 (6)에 대입하자. 이때 달랑베르 원리에서 제약 조건(constraint condition)에 의한 힘은 일을 하지 않음을 상기하자.

$$\sum_k Q_k \delta q_k - \sum_i \dot{\vec{p}}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \tag{7}$$

 

 

이제 식 (7)의 좌변의 두 번째 항을 정리해보자. 먼저 뉴턴 제 2법칙(Newton's 2nd law)을 적용시킨 뒤 식 (3)을 대입하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\sum_i \dot{\vec{p}}_i \cdot \delta \vec{r}_i = \sum_i m_i \ddot{\vec{r}}_i \cdot \delta \vec{r}_i = \sum_i \sum_k m_i \ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k \tag{8}$$

 

이번엔 다음과 같은 미분을 생각해보자.

$$\frac{d}{dt} \left( m_i \dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) = m_i \ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} + m_i \dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) \tag{9}$$

 

식 (9)를 식 (8)에 적용시키면 다음과 같다.

$$\sum_i \dot{\vec{p}}_i \cdot \delta \vec{r}_i = \sum_{i} \sum_{k} \left[ \frac{d}{dt} \left( m_i \dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) - m_i \dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) \right] \delta q_k \tag{10}$$

 

마지막으로 식 (10)을 식 (7)에다가 대입하자.

$$\sum_k \left[ Q_k - \sum_i \left\{ \frac{d}{dt} \left( m_i \dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) - m_i \dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) \right\} \right] \delta q_k = 0 \tag{11}$$

 

 

이번엔 식 (2)를 변형해보자. 이유는 식 (11)에 있는 시간 미분 항을 처리해야 하기 때문이다.

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \right) = \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \frac{d \vec{r}_i}{dt} \right) = \frac{\partial \vec{v}_i}{\partial q_k} \tag{12}$$

 

이번엔 다음과 같은 변형을 고려해보자.

$$\frac{\partial \vec{v}_i}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}_k} \left( \sum_k \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} \right) = \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \tag{13}$$

 

식 (12)와 (13)을 식 (11)에 반영하면

$$\sum_k \left[ Q_k - \sum_i \left\{ \frac{d}{dt} \left( m_i \vec{v}_i \cdot \frac{\partial \vec{v}_i}{\partial \dot{q}_k} \right) - m_i \vec{v}_i \cdot \frac{\partial \vec{v}_i}{\partial q_k} \right\} \right] \delta q_k = 0 \tag{14}$$

 

마지막으로 다음과 같은 미분까지 고려해보자. \( q_k \)를 \( \dot{q}_k \)로 바꿔서 똑같은 식을 생각할 수도 있다.

$$\frac{\partial}{\partial q_k} \left( \vec{v}_i \cdot \vec{v}_i \right) = \frac{\partial \vec{v}_i}{\partial q_k} \cdot \vec{v}_i + \vec{v}_i \cdot \frac{\partial \vec{v}_i}{\partial q_k} = 2 \vec{v}_i \cdot \frac{\partial \vec{v}_i}{\partial q_k} \tag{15}$$

 

식 (15)의 미분 공식을 응용하면 식 (14)는 최종적을 다음과 같이 쓰인다.

$$\sum_k \left[ Q_k - \sum_i \left\{ \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_k} \left( \frac{1}{2} m v_i^2 \right) - \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \frac{1}{2} m_i v_i^2 \right)  \right\} \right] \delta q_k = 0 \tag{16}$$

 

 

식 (16)에서 운동 에너지(kinetic energy) 항이 보인다. 모든 입자들의 운동 에너지를 \( T_i = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2\)라고 쓰면

$$ \sum_k \left[ Q_k - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) + \frac{\partial T}{\partial q_k} \right] \delta q_k = 0 \tag{17}$$

 

홀로노믹(holonomic) 제약 조건을 이용해서 일반화된 좌표를 서로 독립적인 상태로 만들고 나면, 예를들어 \(q_1\) 좌표 성분이 \(q_2\)와 어떤 관계성이 없다면 식 (17)을 만족하는 방법은 다음과 같은 경우 밖에 없다.

$$Q_k = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} \tag{18}$$

 

 

이번엔 퍼텐셜 에너지(potential energy)와 힘의 관계를 살펴보자.

$$ \vec{F}_i = - \vec{\nabla}_i V \tag{19}$$

 

식 (4)의 일반화된 힘의 정의에 식 (19)를 대입하면

$$Q_k = \sum_i \vec{F}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} = - \sum_{i} \vec{\nabla}_i V \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} = -i \sum_i \frac{\partial V}{\partial \vec{r}_i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} = - \frac{\partial V}{\partial q_k} \tag{20}$$

 

이를 식 (18)에 적용시키면

$$-\frac{\partial V}{\partial q_k} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} \tag{21}$$

 

식 (21)을 변형시켜서 다음과 같이 정리하자.

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_k} \tag{22}$$

 

퍼텐셜 에너지는 일반적으로 속도에 의존하지 않는다. 리에나르-비케르트 전위(Liénard-Wiechert potential)와 같은 너무 특이한 경우는 제외해보자. 그렇다면 식 (22)에 \( \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_k} \)를 추가해도 어차피 이 식은 값이 \( 0 \)이기 때문에 문제가 되지 않는다.

 

 

식 (22)를 최종적으로 정리하면 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)의 형태로 바꿀 수 있다.

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_k} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 \tag{23}$$

 

식 (23)의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 함수의 임계점(stationary point)을 찾는 문제라고 볼 수 있다. 이 값을 작용(action)이라고 부른다.

$$ S[q, \dot{q}; t] = \int L dt \tag{24}$$

 

즉, 우리는 자연이 생각할 수 있는 모든 경로 중에서 작용을 최소화하는 경로를 따라간다는 해밀턴(Hamilton)의 최소 작용 원리(principle of least action)를 얻은 것이다.

 

우리가 오일러-라그랑주 방정식에서 사용한 새로운 물리량 \( L \)을 라그랑지안(Lagrangian)이라 부른다. 우리가 다루는 문제의 라그랑지안을 구해서 식 (23)에 적용시켜 방정식을 얻으면 이 방정식은 최소 작용 원리를 잘 만족하게 된다.

$$ L = T - V \tag{25}$$

 

 

라그랑주 역학 - 달랑베르 원리

변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

 

변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : Introduction