일에서부터 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지까지

이번 글에서는 일(work)과 에너지(energy)에 대해서 다뤄보려고 한다. 사실 현대 물리학에서는 뉴턴(Newton)의 힘(force)을 이용해서 운동 방정식(equation of motion)을 짜는 방식보단 에너지를 통해 물리적인 상황을 이해하는 경우가 많다.

 

먼저 일을 생각해보자. 우리는 많은 경우 힘이 위치에 따라 다른 경우를 생각하지 않는다. 그런 문제는 상당히 풀기 어렵기 때문에 최대한 그런 문제를 피해서 푸는데 현실적으로 힘은 위치마다 다르다.

 

대표적으로 중력(gravitation)의 경우 높이에 따라서 받는 중력이 달라진다. 지표면에서 느껴지는 중력과 우주 정거장에서 느껴지는 중력은 다르다. 이런 힘이 공간에 대한 함수로 주어진 경우를 생각해보자.

 

 

이렇듯 위치에 따라 달라지는 힘을 받는 입자가 \( A \)위치에서 \( B \)위치로 운동하는 경우 그 경로를 따라 힘을 공간에 대해 선적분(line integral)한 값을 일이라고 부른다.

$$ W_{AB} = \int^B_A \vec{F} \cdot d \vec{r} \tag{1}$$

 

이제 식 (1)에 있는 \( \vec{F} \cdot d \vec{r}\)을 다음과 같이 변형해보자.

$$ \vec{F} \cdot d \vec{r} = m \vec{a} \cdot d \vec{r} = m \frac{d \vec{v}}{dt} \cdot \vec{r} \tag{2}$$

 

여기에 다음과 같이 미소 시간(infinitesimal time)을 집어넣어 식을 변형한다.

$$ m \frac{d \vec{v}}{dt} \cdot \vec{r} = m \frac{d \vec{v}}{dt} \frac{d\vec{r}}{dt}dt = m \frac{d \vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} dt \tag{3} $$

 

이제 벡터의 곱미분법을 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다. 

$$m \frac{d \vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} dt = \frac{m}{2} \frac{d}{dt} (\vec{v} \cdot \vec{v}) dt = \frac{m}{2} \frac{d}{dt} (v^2) dt = d \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) \tag{4} $$

 

 

이제 식 (4)의 결과를 식 (1)의 적분에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$W_{AB} = \int^B_A d \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = \left. \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) \right|_{A}^B = \frac{1}{2} m (v_B^2 - v_A^2) \tag{5}$$ 

 

일이 어떤 물리량의 변화량으로 바뀌게 되었다. 우리는 이 양을 운동 에너지(kinetic energy)라고 부른다.

$$ W_{AB} = \frac{1}{2}m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = T_B - T_A = \Delta T\tag{6}$$

$$ T = \frac{1}{2} m v^2 \tag{7}$$

 

아주 특별한 경우의 문제로 일이 물체의 경로에 의존하지 않는 경우를 생각해보자. 즉, \( A \)에서 \( B \)로 이동할 때 어떤 경로로 이동하는지 전혀 상관 없는 경우를 의미한다. 이 경우 일을 만드는 힘을 보존력(conservative force)라고 부른다.

 

대표적인 보존력의 예로 중력, 탄성력 등이 있으며 이 힘이 만드는 일의 경우 처음 위치와 나중 위치만 중요할 뿐 두 지점 사이를 잇는 경로가 어떤 모양인가는 계산에 전혀 반영이 되지 않는다.

 

 

이제 \( A \)에서 \( B \)로 이동한 경우를 거꾸로 따라서 가보자. 원래 경로와 다른 경로를 따라서 이동시켜도 전혀 문제가 되지 않는다. 이때는 \( A \)에서 \( B \)로 이동하는 동안 한 일 \( W_{AB} \)와 정확히 동일한 일을 하게 된다.

 

대표적으로 중력의 경우 \( \vec{F} = mg\)가 되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ W_{AB} = \int_{A}^{B} mg d\vec{r} = mg ( \vec{r}_B - \vec{r}_A ) = mgh \tag{8}$$

여기서 위치 차이를 낙하한 높이로 잡았다. \( \vec{r}_B \vec{r}_A = h \)

 

\( A \)로 다시 올라간 물체는 \( mgh \)만큼 일을 할 잠재력을 가지게 됐다. 이러한 잠재적인 에너지를 우리는 퍼텐셜 에너지(potential energy)라고 부르며 다음과 같이 쓴다.

$$ W_{AB} = - (V_B - V_A) = V_A - V_B \tag{9}$$

 

그런데 식 (1)에서 사용했던 일의 정의를 이용하면 다음과 같다.

$$ W_{AB} = \int_A^B \vec{F} \cdot d \vec{r} = V_A - V_B \tag{10}$$

 

 

공간에 대한 적분으로 이루어진 함수기 때문에 퍼텐셜 에너지는 공간에 의존하는 함수가 된다는 것을 알 수 있다. 그리고 적분을 응용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ V(x_A) - V(x_B) = - \int^B_A \frac{d V(x)}{d\vec{r}} \cdot d \vec{r} = - \int^B_A \vec{\nabla} V(x) \cdot d \vec{r} = \int_A^B \vec{F} \cdot d \vec{r} \tag{11}$$

$$\therefore \; \vec{F} = - \vec{\nabla} V(x) \tag{13}$$

 

대부분의 경우 퍼텐셜 에너지는 공간에 의존하는 함수가 된다. 하지만 외부에서 진동하는 전자기장(electromagnetic field)를 걸어주거나 하는 경우에는 시간에 대한 의존성이 생길 수 있다.

 

한편 아주 드문 경우지만 전자기학에서는 퍼텐셜이 속도에 의존하는 경우가 있다. 리에나르-비케르트 퍼텐셜(Liénard-Wiechert potential)이 그 예시 중 하나지만 아주 특수한 경우라 좀 예외로 생각할 수 있다.

 

퍼텐셜 에너지가 공간에만 의존하는 형태라면 이 경우 물체들 간의 상호작용(interaction)은 전적으로 물체들의 위치에만 의존한다. 만약 어떤 물체의 위치가 변한다면 그 영향은 곧바로 다른 물체들에 영향을 끼친다.

 

사실 고전 역학에서 사용되는 상호작용은 전부 이런 성질을 가지고 있다. 이는 뉴턴 역학이 절대 시간을 가정했기 때문이다. 뉴턴의 상대성 글에서 갈릴레이 변환에서 어떤 좌표계던 간에 시간은 변하지 않았다는 것을 상기해보자.

뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란?

 

만약 이 영향이 바로 영향을 끼치는게 아니라 상호작용이 전달되는데 시간이 걸린다면 움직이는 관성계(inertial frame)에서 보이는 물리학은 상대 속도로 인해서 정지한 관성계와 다르게 보일 수 있다. 이는 뉴턴의 상대성에서는 불가능한 개념이다.

 

 

식 (10)이나 식 (13)에서 보면 퍼텐셜 함수에 \( V_0 \) 와 같은 어떤 추가적인 상수 퍼텐셜 항을 더해주어도 물체의 운동 방정식은 변하지 않는다.

 

이는 퍼텐셜 에너지의 원점을 어디에 잡더라도 항상 동일한 결과를 준다는 뜻이 된다. 따라서 내가 계산하기 편한대로 원점을 잡을 수 있고 이는 퍼텐셜 에너지를 사용하는 가장 큰 장점이라고 할 수 있다.

 

실제로 뉴턴의 시대에는 에너지는 그렇게까지 주목받지 못하는 물리량이었다고 한다. 하지만 편의성과 장점들이 점차 부각되기 시작하고 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)를 적용하면서 현대에는 오히려 에너지를 중심으로 한 관점을 많이 사용한다.

 

변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : Introduction