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변분법

• 최단 시간 곡선 문제 - 변분법을 이용한 풀이

  고전역학 2023. 2. 28. 18:15

  지난번에 페르마의 원리(Fermat's principle)을 이용해 최단 시간 곡선(Brachistochrone) 문제를 풀었었다. 이번에는 변분법(variation calculus)와 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 문제를 풀어보자. 먼저 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)를 적용시키기 위해 문제의 상황을 중력장(gravitational field) 아래에서 \( ( x_1, y_1 ) \) 좌표에서 \( (x_2, y_2 )\)로 가는 문제로 바꿔 생각해보자. 이제 두 경로를 잇는 경로(path) 중 우리는 운동 시간이 최소화되는 경로를 찾아야하며 실제로 이러한 상황에서의 물체의 운동은 이 경로를 따라서 일어난다. 먼저 퍼텐셜 에너지(p..

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• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

  고전역학 2023. 1. 23. 23:01

  이번엔 지난 글의 변분법(calculus of varation)을 이용해서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도해보자. 변분법 : https://boringphys.tistory.com/20 지난번 글에서 최적화 경로를 따르는 함수 \( J \)에 약간의 경로 변화를 주어서 그 변화 정도인 \( \varepsilon \)에 의존하는 함수로 바꿔 썼다. 이를 통해서 가능한 모든 경로 중 자연이 따르는 경로를 찾았다. $$J (\varepsilon) = \int^{x_2}_{x_1} f \left( y (x, \varepsilon), \dot{y} (x, \varepsilon) ; x \right) dx \tag{1} $$ $$ y(x, \varepsilon) = y(x..

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• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 변분법

  고전역학 2023. 1. 21. 02:25

  지난 글에서 페르마의 원리(Fermat's principle)을 통해서 자연에서 일어나는 현상들은 어떤 함수를 최소화하는 방향으로 일어남을 보였다. 이번에는 어떤 물리계를 기술할 수 있는 함수를 만든 다음 이를 최소화하는 경로를 찾는 수학적 방법을 소개하려고 한다. 이를 변분법(calculus of variations)라고 한다. 일단 최적화된 경로를 알기 위해서는 어떤 함수를 경로를 따라 적분을 하는 것이 필요하다. 가장 간단하게 1차원 직선 경로를 생각해보자. 두 점 사이를 잇는 연속 함수(continuous function)가 존재할 것이므로 위치 \(y\)는 \( x \)에 대한 함수로 표현할 수 있다. \( x \)는 위치를 표현하는 어떤 변수라고 하자. 많은 경우 물리학에선 시간이 사용된다. ..

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• 변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : Introduction

  고전역학 2023. 1. 16. 17:07

  고전 역학(classical dynamics)을 기술하는 방식에는 그 관점에 따라 3가지 방법이 존재한다. 첫 번째가 지난 몇 글에서 다뤘던 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)이었다. 한동안은 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)라는 고전 역학의 다른 방법론을 얘기해보려고 한다. 또다른 역학 방식을 만든 가장 큰 이유는 전개 방식에서 철학이 다르기 때문이다. 뉴턴(Newton)의 방식이나 라그랑주(Lagrange)의 방식 모두 동일한 결과를 생산해내지만 이론을 구성하는데 있어서 철학이 다르다. 지난 뉴턴의 운동 법칙 글에서는 그 점을 중점적으로 바라봤었는데 이번에는 라그랑주 역학의 철학이 어떻게 되는지 탐구해본다. 가장 중요한 아이디어는 해밀턴의 원리(Hamilton'..

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