구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ③ 편각 성분

 

지난번 라플라스 방정식(Lapalace equation) 풀이에서 반지름(radius)과 방위각(azimutal angle) 성분을 풀었었다. 이번에는 남은 편각(polar angle)에 대해서 다뤄보자.

$$\frac{1}{P (\theta) \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = - l (l+1) \tag{1}$$

 

이 식은 다음과 같이 변형시키면 풀기 편하다.

$$\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) + \left[ l (l+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} \right] P(\theta) = 0 \tag{2}$$

 

이제 $x = \cos \theta$로 치환(substitution)을 이용해보자. 먼저 각도에 대한 미분은 다음과 같이 변한다.

$$\frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} = \frac{\partial P(x)}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} = - \sin \theta \frac{\partial P (x)}{\partial x} \tag{3}$$

$$\frac{\partial}{\partial \theta} = \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial }{\partial x} = - \sin \theta \frac{\partial}{\partial x} \tag{4}$$

 

이 관계식들과 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$라는 관계식을 이용하면 식 (2)는 다음과 같이 변한다.

$$ \frac{\partial}{\partial x} \left[ (1-x^2) \frac{\partial P(x)}{\partial x} \right] + \left[ l (l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] P (x) = 0 \tag{5}$$

 

 

마지막으로 얻은 식 (5)는 일반화된 르장드르 방정식(generalized Legendre equation)이라고 부른다. 이 방정식은 선형 미분 방정식(linear differential equation)이기 때문에 $P(x)$를 급수(power series)의 형태로 쓸 수 있음을 이용해 값을 구한다.

 

이 때의 해는 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)으로 알려져 있다. 이 함수의 자세한 성질에 대해서는 차차 다뤄보도록 하자.

 

식 (5)의 형태에서 $m = 0$이라면 아주 간단한 형태의 방정식으로 바꿀 수 있는데 이를 르장드르 방정식(Legendre equation)이라고 부른다. 또한 해 $P(x)$ 또한 이 경우 르장드르 함수(Legendre function)이라고 부른다.

$$ \frac{\partial}{\partial x} \left[ (1-x^2) \frac{\partial P(x)}{\partial x} \right] + l (l+1)  P (x) = 0  \tag{6}$$

 

이때 $m = 0$이 되었기 때문에 원래 라플라스 방정식(Laplace equation)의 방위각(azimutal angle) 성분 $Q (\phi) = 1$이 됨을 알 수 있다.

 

이런 경우는 내가 다루는 계(system)이 방위각 대칭성(azimutal symmetry)를 가지고 있는 경우로 방위각 방향을 따라 돌면서 어떻게 바라보던 똑같은 결과를 주는 경우를 의미한다. 꽤나 많은 경우가 이 형태로써 기술되기 때문에 앞으로는 우선 계가 방위각 대칭성을 있는 경우를 가정해보도록 하겠다.

 

$x = \cos \theta$로 치환한 것에서 알 수 있듯이 $-1 \leq x \leq 1$이라는 조건이 필요하다. 일반화된 르장드르 방정식에서는 $x = \pm 1$에서 발산하는 항이 나타나므로 이 부분은 의미 없지만 르장드르 방정식에서는 주의깊게 다뤄주어야 함에 유의하자.