1차원 단순 조화 진동자 문제 - 연산자 풀이

 

 

지난번 글에서 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 가설 풀이(ansatz) 방법을 이용해서 풀었다. 이번에는 연산자(operator)를 이용한 풀이 방법을 간단하게 다뤄보자.

 

일단 이번에도 풀어야 하는 미분 방정식은 지난번과 마찬가지로 다음과 같다.

$$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1}$$

이때 $\omega_0 = \frac{k}{m}$이다.

 

이를 미분 연산자(differential operator)의 형태로 쓰면 다음과 같다.

$$\frac{d^2}{dt^2} x(t) + \omega_0^2 x(t) = \left( \frac{d^2}{dt^2} + \omega_0^2 \right) x(t) = 0 \tag{2}$$

 

 

이 연산자를 마치 숫자를 다룰 때 처럼 합차 공식(sum-to-product identity) 형태로 전개해보자.

$$\left( \frac{d}{dt} + i \omega_0 \right) \left( \frac{d}{dt} - i \omega_0 \right) x(t) =  \left( \frac{d}{dt} - i \omega_0 \right) \left( \frac{d}{dt} + i \omega_0 \right) x(t) = 0 \tag{3}$$

 

이렇게 전개가 가능함은 쪼개진 연산자를 각각 다시 $x(t)$에 작용시켜보면 식 (2)의 원래 미분 방정식으로 돌아감을 알 수 있다.

$$ \left( \frac{d}{dt} + i \omega_0 \right) \left( \frac{dx}{dt} - i \omega_0 x \right) = \frac{d^2 x}{dt^2} - i \omega_0 \frac{dx}{dt} + i \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \tag{4}$$

$$ \left( \frac{d}{dt} - i \omega_0 \right) \left( \frac{dx}{dt} + i \omega_0 x \right) = \frac{d^2 x}{dt^2} + i \omega_0 \frac{dx}{dt} - i \omega_0 \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \tag{5}$$

 

만약 $x(t)$가 다음과 같은 식을 만족한다면 각각 식 (4)와 식 (5)가 항등식(identity)가 됨을 알 수 있다.

$$\left( \frac{d}{dt} \pm i \omega_0 \right) x = \frac{dx}{dt} \pm i \omega_0 x = 0 \tag{6}$$

 

이 식을 각 변수끼리 모아준 다음 양변을 적분함으로서 $x(t)$를 찾을 수 있다.

$$\frac{1}{x} dx = \pm i \omega_0 dt \tag{7}$$

$$\ln x = \pm i \omega_0 + c_{\pm} \tag{8}$$

$$\therefore x (t) = C_{\pm} e^{\pm i \omega_0 t} \quad \text{or} \quad x (t) = C_+ e^{i \omega_0 t} + C_- e^{-i \omega_i t} \tag{9}$$

 

이제 이 이후로는 가설 풀이와 똑같은 과정을 거쳐서 삼각 함수와 위상(phase)의 형태로 바꾸어 쓸 수 있다.