1차원 단순 조화 진동자 문제 - 가설 풀이(Ansatz)
이번엔 훅의 법칙(Hooke's law)를 이용한 물리계 문제를 풀어보자. 특히 오로지 훅의 법칙에 의한 복원력(restoring force) 만 있는 경우를 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)라고 부른다.
이 예시는 간단하게 풀 수 있는 문제지만 물리학에서 아주 강력한 효과를 발휘한다. 수많은 물리 문제의 경우 평형 상태(equilibrum)에서 외부 힘에 의해 약간 변하는 경우를 생각하기 때문에 어떤 원인에 의해서 발생했던 간에 그 효과는 단순 조화 진동자로 근사(approximation)하거나 애초에 단순 조화 진동자 문제 형태를 가진다. (실제로 단순 조화 진동자 형태로 쓸 수 없다면 문제는 매우 어려워지거나 풀지 못한다.)
이번 글에서는 특히나 물리학에서 광범위하게 사용되는 1차원 단순 조화 진동자 문제를 다뤄보자. 먼저 단순 조화 진동자의 경우 뉴턴 제 2법칙(Newton's second law)에 의해 다음과 같은 형태의 문제를 푸는 것이 된다.
$$F = m a = m \frac{d^2 x}{d t^2} = m \ddot{x} = - k x \tag{1}$$
식 (1)의 미분 방정식(differential equation)은 시간에 대한 두 번 미분항이 가장 미분 횟수 혹은 차수(order)가 큰 항이기 때문에 2차 미분 방정식(second order differential equation)이다. 또한 미분 방정식이 $x(t)$의 미분 항의 선형 결합(linear combination)으로 이루어진 경우 이를 선형 미분 방정식(linear differential equation)이라고 한다.
우리가 구하려는 $x$는 오직 시간에만 의존하는 함수 $x(t)$이고 이러한 해가 단 하나의 변수로 이루어진 미분 방정식을 상미분 방정식(ordinary differential equation) 또는 ODE라고 부른다. 또한 식 (1)을 다음과 같은 형태로 바꾸면 이 미분 방정식은 $x(t)$와 관련된 항을 빼고 시간 $t$와 관련된 항이 없으므로 이런 경우를 동차(homogeneous)라고 부른다. 모두 합쳐서 2차 선형 동차 상미분 방정식(second order linear ordinary differential equation)이라고 부른다. 이런 미분 방정식들의 분류에 대해서는 다음 글에서 자세히 다뤄보자.
$$\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0 \tag{2}$$
특히 2차 선형 동차 상미분 방정식의 경우 몇 가지 특수한 성질을 지닌다. 특히 2차인 경우 이 미분 방정식의 해는 2가지 선형 독립해(linearly independent solution)가 존재한다. 이 해들을 각각 $x_1 (t)$와 $x_2 (t)$라고 하자. 그렇다면 이 미분 방정식의 일반해 $x (t)$는 다음과 같은 형태로 주어진다. 선형 독립해 또한 미분 방정식을 다룰 때 자세히 다뤄보자. 여기서 중요한 점은 2가지 해로 표현된다는 점이다.
$$x(t) = c_1 x_1 (t) + c_2 x_2(t) \tag{3}$$
단순 조화 진동자의 경우 다음과 같은 각운동량(angular momentum)을 정의한다.
$$\omega_0^2 = \frac{k}{m} \tag{4}$$
$$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \tag{5}$$
식 (5)의 방정식을 보면 어떤 함수를 두 번 미분한 것이 원래 함수에 상수를 곱한 형태를 가지고 있다. 2차 선형 상미분 방정식의 경우 다음과 같은 형태의 해를 가진다고 알려져있다. 이렇게 해가 어떤 형태로 주어져있는지 가정하고 문제를 푸는 방법을 가설 풀이(ansatz)라고 한다.
$$x (t) = e^{\alpha t} \tag{6}$$
식 (6)의 해를 식 (5)에 다시 대입해서 미정 계수를 결정한다.
$$\alpha^2 e^{\alpha t} + \omega_0^2 e^{\alpha t} = 0 \tag{7}$$
$$\alpha^2 + \omega_0^2 = 0 \tag{8}$$
식 (8)에 의하면 $\alpha_{\pm} = \pm \omega_0$임을 알 수 있다. $\alpha$가 두 가지 가능성이 존재하며 이는 가설 풀이를 이용해서 앞서 언급했던 것처럼 $x (t)$가 2가지 선형 독립해로 이루어진 것을 보일 수 있음을 의미한다. 식(3)을 반영하면 최종적으로 $x(t)$는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
$$x(t) = c_1 e^{i \omega_0 t} + c_2 e^{-i \omega_0 t} \tag{9}$$
혹은 오일러 공식(Euler formular)를 이용해서 삼각 함수(trigonometric function)으로 쓸 수 있다.
$$x(t) = (c_1 + c_2) \cos \omega_0 t + i (c_1 - c_2) \sin \omega_0 t = A \cos \omega_0 t + B \sin \omega_0 t \tag{10}$$
식 (10)을 통해서 조화 진동자의 해는 입자의 진동 운동(oscillating motion)으로 기술됨을 알 수 있다. 약한 힘이 가해졌을 경우 특히 그 힘이 훅의 법칙 형태로 근사가 될 경우 힘을 받은 물체는 삼각 함수를 따라 조화 운동 혹은 진동 운동을 함을 알 수 있다. 그래서 삼각 함수를 조화 함수(harmonic function)이라고도 부른다.
식 (10)은 다음과 같이 $R = \sqrt{A^2 + B^2}$을 도입해서 좀 더 일반적인 형태로 바꿔 쓸 수 있다.
$$x(t) = R \left( \frac{A}{R} \cos \omega_0 t + \frac{B}{R} \sin \omega_0 t \right) \tag{11}$$
$-1 \le \frac{A}{R} \le 1$이고 $-1 \le \frac{B}{R} \le 1$이므로 여기에 다음과 같은 형태의 각도를 도입해서 해를 좀 더 간결하게 써보자.
$$\cos \psi = \frac{A}{R}, \; \sin \psi = - \frac{B}{R} \tag{12}$$
$$x(t) = R \left( \cos \psi \cos \omega_0 t - \sin \psi \sin \omega_0 t \right) = R \cos (\omega_0 t + \psi) \tag{13}$$
다음과 같은 각도를 도입할 수도 있다.
$$\cos \phi = \frac{B}{R}, \; \sin \phi = \frac{A}{R} \tag{14}$$
$$x(t) = R \left( \sin \phi \cos \omega_0 t + \cos \phi \sin \omega_0 t \right) = R \sin (\omega_0 t + \phi) \tag{15} $$
이렇게 도입한 $\psi$나 $\phi$를 위상(phase)라고 부른다. 식 (13)이나 (15)는 조화 진동자의 운동을 진폭(amplitude) $R$을 가지면서 삼각 함수를 따라 진동하는 형태로 바꾼 것이다. 식 (10)의 미정 계수를 이용한 일반적인 해보다 위상을 이용해서 표현한 식이 실제 문제 풀이에 많은 도움이 된다.