전기장의 발산과 회전 - 발산 정리와 스토크스 정리의 응용

 

 

이번에는 전기장(electric field)의 미분(differentiation)에 대해 분석을 해보려고 한다. 전기장은 벡터(vector)이기 때문에 일반적인 스칼라 함수(scalar function)과 달리 두 가지 미분이 널리 쓰인다.

 

대표적인 예시로 가우스 법칙(Gauss' law)가 존재하는데 가우스 법칙은 전기장의 발산(divergence)라는 미분을 사용하는 가우스 법칙의 미분형(Gauss' law in differential form)이 있었다.

 

이번 글에서도 먼저 전기장의 정의를 가지고 발산을 취해보자.

$$\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} \frac{(\vec{r} - \vec{r}^{\prime})}{|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|^3} \rho(\vec{r}^{\prime}) \; d \tau^{\prime} \tag{1}$$

 

식 (1)에서의 전기장 공식은 $\vec{r}^{\prime}$에 있는 전하 밀도(charge density)가 $\vec{r}$에 만드는 전기장을 나타낸 것으로 단위 벡터(unit vector)를 적기가 곤란해 단위 벡터의 정의를 응용해 식을 살짝 변형시켜서 분모에 세 제곱이 나타났다. 실제로 전자기학에서는 편의에 따라서 식 (1)과 같은 형태로 많이 적는다.

 

또한 문제의 편의를 위해서 적분(integral)을 공간 전체에 대한 적분이라고 하자. 어차피 전하 밀도가 없는 곳에서는 $\rho(\vec{r}^{\prime}) = 0$이기 때문에 적분 범위를 공간 전체로 확장한다 해서 달라지는 것은 없다.

 

 

이제 식 (1)에 발산을 취하면 발산과 적분은 서로 교환 가능(commutable)한 연산이기 때문에 다음과 같이 식이 정리된다.

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} (\vec{r}) = \vec{\nabla} \cdot \left[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} \frac{(\vec{r} - \vec{r}^{\prime})}{|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|^3} \rho(\vec{r}^{\prime}) \; d \tau^{\prime} \right] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} \vec{\nabla} \cdot \left( \frac{(\vec{r} - \vec{r}^{\prime})}{|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|^3} \right) \rho(\vec{r}^{\prime}) \; d \tau^{\prime} \tag{2}$$

여기서 발산은 $\vec{r}$ 변수에 작용하는 미분 연산자(operator)라고 하자. $\vec{r}^{\prime}$은 이 연산자의 영향을 받지 않는다.

 

여기서 다음과 같이 정의되는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 이용해보자.

$$\vec{\nabla} \cdot \left( \frac{\vec{r} - \vec{r}^{\prime}}{|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} \right) = 4 \pi \delta^3 (\vec{r} - \vec{r}^{\prime}) \tag{3}$$

 

식 (3)은 실제로 많이 사용되는 디랙 델타 함수의 한 형태로 다음과 같은 성질로 정의가 된다.

$$\int f (x) \delta (x-y) \; d x = f (y) \tag{4}$$

 

 

이를 식 (2)에 반영하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} 4 \pi \delta^3 (\vec{r} - \vec{r}^{\prime}) \rho(\vec{r}^{\prime}) \; d \tau^{\prime} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho(\vec{r}) \tag{5}$$

 

이렇게 전기장의 정의에 발산을 취해 가우스 법칙의 미분형을 이끌어냈다. 이번엔 적분형을 이끌어내기 위해서 식 (5)의 양변을 공간 전체에 대해 적분해보자.

$$\int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{E} (\vec{r}) \; d \tau = \frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho(\vec{r}) \; d \tau = \frac{Q}{\epsilon_0} \tag{6}$$

 

그러면 전하 밀도의 적분은 공간 전체에 대해 적분이 되어서 전체 전하량(total charge)가 되고 이제 남은 것은 식 (6)의 좌변에 있는 적분 식이 된다. 해당 적분은 다음과 같이 발산 정리(divergence theorem)을 이용해서 간단하게 표현할 수 있다.

$$\int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{E} (\vec{r}) \; d \tau = \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{a} \tag{7}$$

 

발산 정리의 의미와 유도에 대해서는 다음 기회에 다뤄볼 예정이며 이번 글에서는 전기장의 경우 어떻게 사용되는지만 확인해보자.

 

식 (7)을 식 (6)에 반영하면 다음과 같이 가우스 법칙의 적분형이 나타남을 알 수 있다.

$$\oint_S \vec{E} \cdot d \vec{a} = \frac{Q}{\epsilon_0} \tag{8}$$

 

 

다음으로는 벡터 미적분학(vector calculus)에서 사용하는 또다른 벡터의 미분인 회전(curl)에 대해서는 어떻게 반응하는지 살펴보자. 이를 위해서는 먼저 전기장을 어떤 경로를 따라 경로 적분(path integral)을 해줘야 한다.

 

계산의 간편함을 위해 어떤 점전하 $q$가 원점에 존재하는 경우를 상정해보자. 이 때의 전기장은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r} \tag{9}$$

 

이제 어떤 점 $\vec{x}_1$에서 $\vec{x}_2$ 까지 선적분(line integral)을 진행해보자.

$$\int_{\vec{x}_1}^{\vec{x}_2} \vec{E} \cdot d \vec{l} \tag{10}$$

 

 

이 적분을 진행하기 위해서 먼저 구면 좌표계(spherical coordinates)를 도입해보자. 이때 구면 위의 한 선 요소(line element)는 다음과 같이 주어진다.

$$d \vec{l} = dr \; \hat{r} + r d \theta \; \hat{\theta} + r \sin \theta d \phi \; \hat{\phi} \tag{11}$$

 

이러면 식 (10)에서 전기장과 구면 좌표계에서의 선 요소의 내적은 반지름 방향의 성분만 남아 다음과 같이 식이 정리됨을 알 수 있다.

$$ \int_{\vec{x}_1}^{\vec{x}_2} \vec{E} \cdot d \vec{l} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r^2} \; dr = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) \tag{12}$$

 

식 (12)는 지금 당장에는 큰 의미가 없다. 하지만 만약 우리가 적분한 경로가 닫힌 경로(closed path)라고 해보자. 이는 다시 말해 $\vec{x}_1 = \vec{x}_2$ 또는 $r_1 = r_2$를 의미한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$$\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_1} \right) = 0 \tag{13}$$

 

조지 스토크스

 

식 (13)의 좌변에 있는 적분은 스토크스 정리(Stokes' theorem)을 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = \int_S (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \cdot d \vec{a} \tag{14}$$

스토크스 정리의 의미와 유도 또한 발산 정리처럼 다음으로 미뤄두고 계산만 진행해보자.

 

식 (13)과 식 (14)의 결과를 조합하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$ \int_S (\vec{\nabla} \times \vec{E}) \cdot d \vec{a} = 0 \tag{15}$$

 

식 (15)의 유도 과정을 통해 유추할 수 있는 점은 식 (15) 어떤 닫힌 경로에 대해서든 맞는 항등식(identity)이 된다는 점이다. 식 (15)가 항등식이 되기 위해서는 다음과 같은 조건이 필수 불가결임을 알 수 있다.

$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0 \tag{16}$$

 

 

전기장의 발산과 회전을 통해서 식(5)와 식(16)이라는 전기장에서 가장 중요한 두 개의 식을 이끌어냈다.

$$\begin{split} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = & \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = & 0 \end{split} \tag{17}$$

 

이 두 개의 식은 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)을 구성하는 식들로 총 4개의 맥스웰 방정식 중 2개를 차지한다. 다만 자기장(magnetic field)을 고려하지 않았기 때문에 맥스웰 방정식에서 생각보다 많은 내용이 빠져 있다.

 

대표적으로 식 (16)을 유도한 가정에서 알 수 있듯이 전기장의 회전은 점전하에 의해 만들어지지 않는다. 하지만 자기장의 변화는 전기장의 회전을 만들어낼 수 있으며 이를 우리는 패러데이 법칙(Faraday's law)라고 부른다.

 

가우스 법칙의 유도