급수의 수렴과 발산 판정법 (1)
지난 글에서 급수란 무엇인지 그리고 급수의 수렴에 대한 정의를 봤었다. 일반적으로 다루는 급수는 수렴하는 급수고 우리에게 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 어떻게 알 수 있는지 현재까지 알려진 방법을 소개해보려고 한다.
1. 비교 판정법(Comparison Test)
비교 판정법은 어떤 임의의 정해진 자연수 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(0 \le |a_n| \le b_n\)이 성립하는 두 수열을 가정한다. 즉, 다시 말해서 같은 항일 경우 수열 \(b_n\)이 더 큰 경우를 의미한다.
만약 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하고 반대로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 발산하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 발산한다는 정리이다.
다시말해서 더 큰 수열의 급수가 수렴하면 더 작은 수열의 급수는 반드시 수렴하며 더 작은 수열의 급수가 발산하면 더 큰 수열의 급수는 반드시 수렴한다는 의미이다.
증명은 다음과 같다.
\(a_k\)의 \(n\)까지의 부분합을 \(s_n\), \(b_k\)의 \(n\)까지의 부분합을 \(t_n\)라고 하자.
$$s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \tag{1}$$
$$t_n = \sum_{k=1}^{n} b_k \tag{2}$$
\(n < m\)인 두 자연수에 대해 다음 식이 성립한다.
$$|s_m - s_n| = \left| \sum_{k=1}^m a_k - \sum_{k=1}^n a_k \right| = |( a_1 + a_2 + \cdots + a_m ) - (a_1 + a_2 + \cdots + a_n )| = \left| \sum_{k=n+1}^m a_k \right| \tag{3}$$
\(a_n\)은 음수인지 양수인지 정해져 있지는 않는다. 하지만 \(a_n\)이 음수가 되는 항이 있다면 부분합은 작아질 것이다. 따라서 \(a_n\)에 절대값을 씌워 더하는 것은 전체의 합보다 크거나 같을 수 밖에 없다.
$$\left| \sum_{k = n+1}^m a_k \right| \le \sum_{k=n+1}^m |a_k| \tag{4}$$
그런데 기본 가정에서 \(|a_n| \le b_n\)을 가정했으므로 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$$\sum_{k=n+1}^m |a_k| \le \sum_{k=n+1}^m b_k = t_m - t_n \tag{5}$$
그런데 \(b_k\)가 수렴한다면 \(\lim_{k \rightarrow \infty} b_k = 0\)이므로 두 부분합의 차 \(t_m - t_n\)도 0으로 수렴한다.
(자세한 증명도 가능하지만 주제에서 벗어나므로 생략한다. 이러한 성질의 수열을 코시 수열(Cauchy series)라고 한다.)
결국 \(a_k\)의 부분합의 차도 0으로 수렴하기 때문에 같은 성질을 가지게 되어 \(a_k\)의 급수가 사실을 알 수 있다. 비슷한 방법을 이용해 발산의 경우도 증명이 가능하다.
2. 코시 제곱근 판정법(Cauchy Root Test)
코시 제곱근 판정법은 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(n\)에 의존하지 않는 실수 \(r\)이 다음과 같은 조건을 만족할 때 \(a_n\)의 급수가 수렴한다는 정리다.
$$(a_n)^{\frac{1}{n}} \le r < 1 \tag{6}$$
또는 \(r\)이 다음과 같은 조건을 만족할 경우는 급수가 발산한다는 정리이다.
$$(a_n)^{\frac{1}{n}} \ge 1 \tag{7}$$
증명은 다음과 같다.
\(n\)이 충분히 크다면 다음 식이 성립한다. (우항은 \(r\)이라는 더 큰 수를 계속 곱하기 때문)
$$ a_n \le r^n \tag{8} $$
이 식을 이용해서 급수를 쓰면 다음과 같은 식이 성립한다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=1}^{\infty} r^n \tag{9}$$
그런데 오른쪽 식은 등비급수(geometric series)이므로 공식을 이용하면 다음과 같다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} \tag{10}$$
따라서 비교 판정법에 의해 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴함을 알 수 있다.
발산하는 경우에 대해서 모든 \( n \in \mathbb{N} \)에 대해 \(a_n \ge 1\)이므로 \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0\)이기 때문에 증명이 끝난다.
3. 라이프니츠 교대 급수 판정법(Leibniz Alternating Series Test)
교대 급수 판정법은 수열 \(a_n\)이 0으로 수렴하는 단조 감소 수열일 경우 해당 수열의 교대 급수는 반드시 수렴한다는 정리를 의미한다.
여기서 단조 감소 수열은 꾸준히 감소하는 수열을 의미하고 교대 급수는 다음과 같은 급수를 의미한다.
감소하면서 0으로 수렴하기 때문에 \(a_n\)은 전부 양수임을 알 수 있다.
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots \tag{11} $$
정리의 증명은 다음과 같다.
교대 급수의 부분합을 $s_n$이라고 정의하면 다음 식이 성립한다.
$$s_{2n + 1} = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots + a_{2n} - a_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1} \tag{12}$$
그런데 \(a_n > 0\)이라고 했으므로 임의의 자연수 \(m\)에 대해 다음 식이 성립한다.
$$ s_{2n+1} - s_{2n} \le 0 < a_m \tag{13}$$
그런데 오른쪽 항이 0으로 수렴하므로 비교 판정법에서 사용했던 논리에 따라 교대 급수가 수렴함을 알 수 있다.