원의 넓이와 구적법

 

 

이번에는 흔히들 그냥 적분(integral)이라 부르는 리만 적분(Riemann integral)을 다루기 이전에 적분의 기초적인 아이디어를 제공하려 한다.

 

이번 글에서 알고자 하는 것은 "적분이란 정확히 무엇인가?" 또는 "적분이란 무엇을 목표로 했는가?"이다. 이에 대한 원초적인 답은 도형의 넓이 구하기이다.

 

어렸을 때 공식으로 외우는 깔끔한 다각형(polygon)의 넓이가 아닌 곡선이 들어간 평면 도형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까?

 

사실 원의 경우 그 넓이는 $A = \pi r^2$이라는 유명한 공식이 존재한다. 그러나 이또한 완벽한 원의 경우에만 적용할 수 있는 공식이다. 세상에서 완벽한 원을 찾기는 불가능에 가깝다.

 

또한 원의 넓이에도 문제점은 존재한다. 도대체 어떻게 원의 넓이 공식을 알아냈을까?

 

 

 

이런 문제는 상당히 오래전부터 제기됐고 당시 사람들이 사용한 방법은 최대한 깔끔한 다각형에 가까운 모양으로 잘라서 최대한 비슷한 넓이를 구하는 것이다.

 

이에 대한 기초적인 아이디어는 이미 고대 이집트 때부터 제시됐다고 하며 고대 그리스의 아르키메데스(Archimedes)가 체계화시킨 바 있다. 이를 구적법(quadrature)라고 부른다.

 

특히 아르키메데스가 원의 넓이를 삼각형을 이용해서 쪼개 구적한 아이디어가 유명하다.

 

구적법의 경우 곡선과 다각형 사이에 어쩔수 없이 미처 커버가 불가능한 부분이 있지만 더더욱 세밀한 다각형을 이용해서 도형의 면적을 뒤덮어 나가면 커버가 불가능한 부분은 점점 줄어들 것이다.

 

 

 

원의 넓이의 경우 이등변 삼각형(isosceles triangle)을 이용해서 마치 피자처럼 쪼갠 다음 더하는 방식을 이용한다.

 

잘게 쪼개면 쪼갤수록 붙힌 도형은 직사각형에 가까워지는데 직사각형의 높이는 원의 반지름(radius)에 해당하며 직사각형의 밑변은 원의 둘레에 절반에 해당함을 알 수 있다. 이를 원주(circumference)라고 부른다.

 

이름에서 유추할 수 있듯이 반지름과 이 원주 사이의 비율을 원주율(circumference)이라고 부르며 $\pi \approx 3.141592 \cdots$ 정도의 값을 가지는 무리수(irrational number)라는 사실은 초등학교 때부터 배우는 유명한 사실이다.

 

그렇게해서 구한 원주의 길이는 $l = \pi r$이고 높이는 반지름이었기 때문에 원의 넓이는 재구성한 직사각형의 넓이를 구해서 얻을 수 있고 위에 언급된 원의 넓이 공식이 됨을 알 수 있다.

$$A = \pi r^2 \tag{1}$$

 

이 아이디어에서 핵심은 원을 잘게 쪼개서 최대한 직사각형에 가깝게 만든다에 있다. 정말로 이 방법이 실제 넓이로 잘 근사됨은 잘 증명이 되어 있다.

 

 

 

그렇다면 이를 좀 더 일반화시켜서 곡선을 포함하는 모든 도형은 아주 잘게 작은 다각형으로 쪼개서 재구성을 하거나 각각의 작은 다각형의 넓이를 공식을 이용해서 구한 다음 다 더하면 넓이를 구할 수 있을 것이다.

 

특히 마지막에 언급한 작은 다각형을 직사각형(rectangle)으로 잡는다면 아주 일반적이고 편리한 방법론을 만들어낼 수 있을것이다.

 

더욱이 사고를 확장시켜서 곡면을 포함한 도형을 함수로 표현한 다음 함수의 구간을 잘게 쪼개서 각각의 직사각형을 만들어 해당 직사각형의 넓이를 다 더하면 더더욱 일반화된 공식을 만들어낼 수 있다.

 

이러한 직사각형을 이용해서 일반화된 구적법 공식을 만들어내는 방법을 리만합(Riemann sum)이라고 부른다. 그리고 극한(limit)이라는 수학을 이용해서 무한히 잘게 쪼개는 과정을 넣으면 이를 적분이라고 부른다.