연속 전하 분포와 직선 도선 예제

이 세상의 대부분의 물체들은 전기적으로 중성(neutral)인 원자(atom)으로 이루어져 있고 원자는 양전하(positive charge)를 띠는 양성자(proton)과 음전하(negative charge)를 띠는 전자(electron)로 구성되어 있다.

 

전자와 양성자는 전부 \( e = 1.60217 \; \text{C} \) 정도의 전하량을 가지고 있으며 부호만 반대로 이루어져있다. 즉, 이 세상을 이루고 있는 기본 블럭인 양성자와 전자가 \( e \) 만큼의 전하량을 지니고 있기 때문에 모든 전기 전하는 \( e \)의 정수배 만큼의 전하를 지닌다. (쿼크(quark)와 같은 아주 특수한 사례는 제외하도록 하자.)

 

이 사실들이 지금은 보편적인 상식이 됐지만 적어도 전기 현상에 대한 연구들이 이루어질 시기에는 이러한 물질의 구성에 대한 사실들이 밝혀지지 못했다. 실제로 원자론만해도 정설로 받아들여진건 20세기가 되어서부터였다.

 

그래서 실제로 20세기 이전까지 세상의 물질들은 연속적(continuous)으로 분포한다고 믿는 학자도 있었고 입자들로 이루어졌다는 설과 많은 논쟁이 있었다.

 

학자들이 이렇게 착각한 데에는 원자가 터무니없이 작기 때문인데 전자와 양성자는 또 원자와는 비교도 할 수 없을 정도로 작다. 그래서 어떤 연속 분포(continuous distribution)을 가진다고 믿기에 부족함이 없었다.

 

 

그리고 이러한 연속 분포에 대한 모형은 현재에도 유효하게 작용한다. 물론 실제 물질은 불연속적(discrete)인 전하 분포를 가지고 있지만 문젠 너무나 작은 입자가 너무나 많이 뭉쳐져 이루어져 있다.

 

고운 모래로 이루어진 점토도 어떤 매끈한 곡면처럼 느껴지는데 이런 모래보다 훨씬 작은 것이 원자다. 그래서 우리는 실제 물질과 같이 거시적인(macroscopic)한 관점에서 전기적인 성질을 다룰때는 마치 전하가 연속 분포를 가지는 것처럼 생각한다.

 

실제 공간의 한 점의 전기장(electric field)은 유한(finite)한 입자가 만들어내는 유한한 전기장의 합으로 구할 수 있지만 실제로 전자 하나 하나의 기여분을 일일히 구해서 더하는 것은 말도 안되는 일이다.

 

하지만 수학적인 연속성을 가진 모형을 도입한다면 이러한 어려운 문제를 우리는 간단하게 적분(integral)로 표현할 수 있다. 이렇게 도입한 모형은 실제와 차이를 보이지도 않으면서 문제를 간단하게 만들어준다.

 

따라서 우리는 앞으로 전하를 수학적인 연속성을 가지는 것으로 간주하고 문제를 풀 것이다. 만약 미시적(microscopic)인 관점에서 문제를 바라본다면 이런 접근이 불가능하지만 또 이 경우에는 경우에 맞춰서 풀면된다.

 

 

먼저 어떤 수학적인 선(line)을 따라서 전하가 분포한다고 생각하자. 이때 전체 전하량을 \( q \)라고 하면 단위 길이당 들어있는 전하량 즉, 선 전하 밀도(charge density)는 다음과 같다.

$$ \lambda = \frac{dq}{dl} \tag{1}$$

 

\( dq \)는 아주 작은 미소(infinitesimal) 전하량을 의미하며 \( dl \)은 아주 작은 미소 길이를 의미한다. 만약 전하가 전체 도선에 균일하게 분포한다면 \( \lambda \)는 상수가 될 것이다. 그렇지 않다면 위치에 의존하는 함수 \( \lambda (x) \)가 될 것이다.

 

식 (1)은 다음과 같은 형태로 변형할 수 있다.

$$ dq = \lambda d l \tag{2}$$

 

그리고 식 (2)를 정해진 도선의 조건에 맞게 적분해서 다음과 같이 전체 전하량을 구할 수 있다.

$$ q = \int \lambda d l \tag{3}$$

 

전하가 면적(surface)에 분포하는 경우 식 (2)와 (3)은 다음과 같이 쓸 수 있으며 \( \sigma \)를 면 전하 밀도라고 부른다.

$$dq = \sigma d A \tag{4}$$

$$q = \int \sigma d A \tag{5}$$

여기서 \( d a \)는 미소 면적을 의미한다.

 

마지막으로 3차원 부피를 가지는 형태로 분포할 경우 부피 전하 밀도 \( \rho \)를 이용해서 쓴다.

$$ dq = \rho d V \tag{6}$$

$$ q = \int \rho d V \tag{7}$$

 

 

이를 기반으로 전기장을 써보자. \( i \)로 표현하는 입자 하나가 원점에서 \(\vec{r}\)만큼 떨어진 위치에 만드는 전기장은 다음과 같이 정의했다.

$$\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i |^2} \hat{r}_i \tag{8}$$

 

미소 전하가 만드는 미소 전기장은 식 (8)에서 전하량을 미소 전하로 바꿔서 구할 수 있다.

$$ d \vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dq_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i |^2} \hat{r}_i \tag{9}$$

 

이제 우리가 다루는 대상이 어떤 전하 분포를 가지는가에 따라서 식 (2), (4), (6) 중에 맞는 대상을 \( dq \)에 대입한 뒤 적분해서 전체 전기장을 구하면 된다. 나는 부피 전하 밀도를 가지는 경우를 선택해보겠다.

$$\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V} \frac{\rho}{| \vec{r} - \vec{r}^{\prime} |^2} \hat{s} dV \tag{10}$$

 

여기서 \( \vec{r}^{\prime} \)은 각각의 미소 전하들이 분포한 위치를 의미하며 \( \vec{s} = \vec{r} - \vec{r}^{\prime} \)는 미소 전하에서 바라본 목표 지점의 위치 벡터를 의미한다. 전하 밀도 같은 경우 균일하지 않을 수도 있기 때문에 적분 바깥으로 함부로 나오면 안됨에 주의하자.

 

 

이번엔 이를 응용하는 대표적인 예제를 한 번 보도록 하자. 먼저 원점과 \((L, 0)\) 위치에 선 전하 밀도가 \( \lambda \)로 균일하게 분포한 경우를 보자. 이때 \( \vec{r} = (0, y) \) 위치에서의 전기장을 구해보자.

 

먼저 선에 분포한 아주 작은 전하를 생각해보자. 임의의 한 전하의 위치는 \( \vec{r}^{\prime} = (x, 0) \)이라고 쓸 수 있다. 이 점에서부터 \( (0, y) \)를 향하는 위치 벡터는 다음과 같이 주어진다.

$$ \vec{s} = \vec{r} - \vec{r}^{\prime} = (-x, y) \tag{11}$$

\( x \in [0, L] \)이다.

 

이제 선 전하 밀도를 이용해서 전기장 공식 식 (10)에 대입해서 문제를 풀어보자. 식 (11)의 벡터를 이용해서 단위 벡터를 만들어준다.

$$\begin{matrix} \vec{E} & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int^L_0 \frac{\lambda}{x^2 + y^2} \frac{( - x \hat{x} + y \hat{y})}{\sqrt{x^2 + y^2}} dx \\ & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( - \int^L_0 \frac{\lambda x}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} dx \hat{x} + \int^L_0 \frac{\lambda y}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} dx \hat{y} \right) \end{matrix} \tag{12}$$

 

전기장을 각각의 방향으로 쪼개주자.

$$E_x = - \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int^L_0 \frac{x}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} dx \tag{13}$$

$$E_y = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int^L_0 \frac{y}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} dx \tag{14}$$

 

 

먼저 식 (13)의 적분을 하기 위해서 \( x = y \tan \theta\)로 치환해주자. 그러면 \( dx = y \sec^2 \theta \)가 된다. 또한 \( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\)도 응용해주자.

$$E_x = - \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int^{\theta_1}_0 \frac{y \tan \theta \cos^3 \theta}{y^3} \frac{y}{\cos^2 \theta} d \theta = -\frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{y} \int^{\theta_1}_0 \sin \theta  d \theta \tag{15}$$

여기서 \( L = y \tan \theta_1 \)인 각도를 정의해서 적분 구간을 바꿔썼다.

 

식 (15)의 적분은 간단하게 정리된다.

$$E_x = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\cos \theta_1 - 1}{y} \tag{16}$$

 

마지막으로 다음과 같은 관계식을 응용하자. 위에서 언급한 \( \theta_1 \)의 정의를 이용했다.

$$1 + \tan^2 \theta_1 = \frac{1}{\cos^2 \theta_1} = 1 + \frac{L^2}{y^2} \tag{17}$$

$$\therefore \cos \theta_1 = \frac{y}{\sqrt{L^2 + y^2}} \tag{18}$$

 

식 (18)을 식 (16)에 대입하면 다음과 같다.

$$E_x = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{L^2 + y^2} - \frac{1}{y} \right) \tag{19}$$

 

 

이번엔 식 (14)의 적분을 해보자. 위의 과정과 똑같은 치환을 가해주면 다음과 같다.

$$E_y = \frac{\lambda y}{4 \pi \epsilon_0} \int^{\theta_1}_0 \frac{\cos^3}{y^3} \theta \frac{y}{\cos^2 \theta} d \theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{y} \int^{\theta_1}_0 \cos \theta d \theta \tag{20}$$

$$\therefore E_y = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\sin \theta_1}{y} \tag{21}$$

 

식 (18)에서 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)을 응용하면 다음과 같다.

$$\sin \theta_1 = \frac{L}{\sqrt{L^2 + y^2}} \tag{22}$$

 

식 (22)를 식 (21)에 대입하면 다음과 같다.

$$E_ y = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{y} \frac{L}{\sqrt{L^2 + y^2}} \tag{23}$$