행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질

수리물리

행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질

방구석물포자 2023. 3. 6. 02:30

이번 글에서는 좀 더 부가적인 행렬식(determinant)의 성질에 대해서 정리해보도록 하겠다.

1. 행렬식의 스칼라 곱셈

다음과 같이 $n \times n$ 행렬(matrix) $A$ 의 행렬식을 생각해보자. 그리고 이 행렬식에 어떤 상수(constant) $c$ 를 곱해보자.

$\begin{matrix} (1) & det A = | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$

$\begin{matrix} (2) & c det A = c | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$

지금과 같은 형태로는 딱히 별다른 의미가 있어보이지 않는다. 하지만 라이프니츠 공식(Leibniz formula)를 이용해서 식 (2)를 써보면 재밌는 성질을 얻어낼 수 있다.

$\begin{matrix} (3) & c d e t A = c \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ) \prod_{i = 1}^{n} A_{i, σ_{i}}) = \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ) c \prod_{i = 1}^{n} A_{i, σ_{i}}) \end{matrix}$

식 (3)이 성립하는 이유는 단순히 분배 법칙(distributivity) 덕분임을 알 수 있다. 그런데 또 내부의 곱셈끼리 연산을 보면 곱셈끼리는 교환 법칙(commutativity)가 성립한다.

식 (3)의 곱기호 뒤에 있는 연산은 여러 행렬 원소들의 곱셈이지만 저 상수 $c$ 를 적절히 특정 $A_{i, σ_{i}}$ 에 곱해줘서 새로운 행렬 성분을 만들어 낼 수 있다.

이를 잘 잡아주면 행렬식에 숫자를 곱하는 연산은 다음과 같이 특정 행(row)과 열(column)에 상수를 곱해서 만든 새로운 행렬의 행렬식으로 바꿀 수 있다.

$\begin{matrix} (4) & c det A = c | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} c A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ c A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ c A_{21} & c A_{22} & \dots & c A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$

식 (4)의 경우는 첫 번째 열과 두 번째 행에 대해 각각 상수 $c$ 를 곱해준 행렬의 행렬식으로 표현했다. 굳이 이 행과 열이 아니고 적당히 원하는 행 또는 열을 잡아줘도 이 성질은 잘 성립한다.

또한 이를 응용해서 각 모든 성분에 대해 상수 $c$ 를 곱한 행렬의 행렬식은 다음과 같음을 알 수 있다.

$\begin{matrix} (5) & det (c A) = | \begin{matrix} c A_{11} & c A_{12} & \dots & c A_{1 n} \\ c A_{21} & c A_{22} & \dots & c A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c A_{n 1} & c A_{n 2} & \dots & c A_{n n} \end{matrix} | = c^{n} det A \end{matrix}$

2. 행렬식 성분의 분해

이번엔 행렬의 특정 행 또는 열에 어떤 숫자가 더해진 경우를 생각해보자. 사실 원래 있던 행렬을 이런 형태로 붆해도 된다. 다음과 같은 행렬식을 생각해보자.

$\begin{matrix} (6) & det A^{'} = | \begin{matrix} A_{11} + B_{1} & A_{12} + B_{2} & \dots & A_{1 n} + B_{n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$

마찬가지로 이런 성분을 잡는데 있어서 굳이 $1$ 행이 아니어도 상관 없다. 다른 행 또는 열을 잡아도 이 성질은 유지된다. 이번에도 라이프니츠 공식을 이용해서 식 (6)을 표현해보자.

$\begin{matrix} (7) & det A^{'} = \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ) \prod_{i = 2}^{n} A_{i, σ_{i}} (A_{1, σ_{1}} + B_{σ_{1}})) \end{matrix}$

식 (7)에서 지금 식 (6)의 상황에 맞추기 위해서 $1$ 행 성분은 따로 표현해줬음에 유의하자. 다른 행과 열을 잡을 때에도 이를 어떻게 표현하는가가 중요해진다.

이번에도 마찬가지로 분배 법칙을 이용해서 식 (7)을 다음과 같이 분해해보자.

$\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} det A^{'} & = & \sum_{σ \in S_{n}} [s g n (σ) \prod_{i = 2}^{n} (A_{i, σ_{i}} A_{1, σ_{1}} + A_{i, σ_{i}} B_{σ_{1}})] \\ = & \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ) \prod_{i = 1}^{n} A_{i, σ_{i}}) + \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ) \prod_{i = 2}^{n} A_{i, σ_{i}} B_{σ_{1}}) \end{matrix} \end{matrix}$

$A_{i, σ_{i}}$ 에 대한 식들은 하나의 기호로 통합해 줄 수 있다.

식 (8)을 보면 결국 다음과 같은 식으 성립함을 알 수 있다.

$\begin{matrix} (9) & | \begin{matrix} A_{11} + B_{1} & A_{12} + B_{2} & \dots & A_{1 n} + B_{n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} B_{1} & B_{2} & \dots & B_{n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$