최단 시간 곡선 문제 - 변분법을 이용한 풀이

지난번에 페르마의 원리(Fermat's principle)을 이용해 최단 시간 곡선(Brachistochrone) 문제를 풀었었다. 이번에는 변분법(variation calculus)와 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 문제를 풀어보자.

 

먼저 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)를 적용시키기 위해 문제의 상황을 중력장(gravitational field) 아래에서 \( ( x_1,  y_1 ) \) 좌표에서 \( (x_2, y_2 )\)로 가는 문제로 바꿔 생각해보자.

 

이제 두 경로를 잇는 경로(path) 중 우리는 운동 시간이 최소화되는 경로를 찾아야하며 실제로 이러한 상황에서의 물체의 운동은 이 경로를 따라서 일어난다.

 

 

먼저 퍼텐셜 에너지(potential)의 원점을 출발 지점으로 놓자. 따라서 \( V(y_1) = 0 \)이 된다. 가장 간단하게 표현하는 방법은 출발 지점을 아예 원점으로 잡으면 된다.

 

그리고나서 처음 출발 지점에서 출발할 때 정지 상태에서 출발했다고 가정할 것이므로 해당 지점에서의 운동 에너지 또한 다음과 같이 \( 0 \)으로 놓을 수 있다. 출발 시간을 \( 0 \)초라고 하자.

$$ T = \frac{1}{2} m v(0)^2 = 0 \tag{1}$$

 

따라서 \( 0 \)초일 때 \( (x_1, y_1) \)에서 출발하는 물체의 총 에너지(total energy)는 다음과 같다.

$$ E = T + V = \frac{1}{2} m v(0)^2 + V(y_1) = 0 \tag{2}$$

 

 

그리고 에너지 보존 법칙(energy conservation law)에 의해서 식 (2)의 관계는 어떤 위치에서든 성립하는 공식이 된다. 따라서 임의의 시간에서의 방정식을 써보자.

 

중력장 아래에서 움직이는 물체라고 가정했으므로 퍼텐셜 에너지는 중력에 의한 퍼텐셜 에너지 \( V(y) = -mg y \)만 존재한다. 따라서 다음과 같이 총 에너지를 쓸 수 있다.

$$ E = T + V = \frac{1}{2} m v(t)^2 - mg y = 0 \tag{3}$$

 

식 (3)의 퍼텐셜 항을 이항하고 질량(mass)을 소거한 다음 잘 정리해서 각 위치에서의 물체의 속도를 구할 수 있다.

$$ v = \sqrt{2g y} \tag{4}$$

 

 

이제 속도(velocity)의 정의를 이용해서 운동 시간을 구해보자.

$$ v(t) = \frac{d s(t)}{dt} = \sqrt{2g y} \tag{5}$$

 

식 (5)를 다음과 같이 쓰자.

$$ \frac{1}{\sqrt{2g y}} d s(t) = \frac{1}{\sqrt{2gy}} \sqrt{d x^2 + d y^2} = dt \tag{6}$$

 

식 (6)의 양변에 적분 구간(integral interval)을 잘 잡아서 적분(integral)을 계산해주자. 시간은 잠시 변수를 바꿔서 표현하자. 적분의 결과에는 영향을 끼치지 않는다.

$$\int^{(x_2, y_2)}_{(x_1, y_1)} \frac{1}{\sqrt{2g y}} \sqrt{d x^2 + d y^2} = \int^t_0 d t^{\prime} \tag{7}$$

 

식 (7)의 시간 적분 항은 금방 풀 수 있지만 공간 적분 항은 상당히 복잡한 상태다. 따라서 다음과 같이 하나의 변수에 대한 식으로 통일을 하자.

$$ t = \int^{(x_2, y_2)}_{(x_1, y_1)} \frac{1}{\sqrt{2gy}} \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)} dy = \int^{y_2}_{y_1} \sqrt{\frac{1 + (x^{\prime})^2}{2gy}} dy \tag{8}$$

여기서 \( x^{\prime} = \frac{dx}{dy} \)이다.

 

 

이제 이동 시간 안에 있는 \( y \)에 대한 식을 최소화 하는 것이 우리의 목표가 됐다. \( x \)를 \( y \)에 의존하는 함수 형태꼴로 써주면서 간단한 1변수 문제가 됐다. 다음과 같은 함수를 정의하자.

$$ f [x ; y] =  \sqrt{ \frac{1 + (x^{\prime})^2}{y}} \tag{9}$$

 

식 (8)의 이동 시간을 최소화하기 위해선 식 (9)의 함수를 오일러-라그랑주 방정식에 넣고 그 경로를 구하면 된다. 그런데 식 (9)는 제약 조건(constraint condition)을 이용해 일반화된 좌표(genralized coordinate)가 \( x \)이고 \( y \)에 대한 범함수(functional)의 형태로 쓴 식이다.

 

따라서 오일러-라그랑주 방정식을 다음과 같이 적용시킨다. 

$$\frac{d}{dy} \left( \frac{\partial f}{\partial x^{\prime}} \right) - \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dy} \left( \frac{\partial f}{\partial x^{\prime}} \right) = 0 \tag{10}$$

 

 

식 (10)을 보면 \( x^{\prime} \)에 대한 도함수(derivative)는 \( y \)에 대해서 상수라는 사실을 알 수 있다. 

$$\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}} = c \tag{11}$$

 

식 (11)에다 식 (9)를 대입해서 정리해보자.

$$\frac{\partial}{\partial x^{\prime}} \left( \sqrt{\frac{1 + (x^{\prime})^2}{y}} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{1 + (x^{\prime})^2}} \frac{2 x^{\prime}}{y} = \sqrt{\frac{1}{y (1 + \left( x^{\prime})^2 \right)}} x^{\prime} = c\tag{12}$$

$$ c^2 = \frac{(x^{\prime})^2}{ y \left( 1 + (x^{\prime})^2 \right)} \tag{13}$$

 

이번엔 식 (13)을 다음과 같이 변형하자.

$$ \frac{1}{c^2 y} = 1 + \frac{1}{(x^{\prime})^2} \tag{14}$$

 

식 (14)를 \( x^{\prime} \)에 대한 식으로 바꾼 다음 양변을 \( y \)에 대해서 적분하자.

$$ x^{\prime} = \sqrt{\frac{c^2 y}{1 - c^2 y}} \tag{15}$$

$$ x(y) = \int \sqrt{\frac{c^2 y}{1 - c^2 y}} dy \tag{16}$$

 

 

이번엔 \( y = \frac{1}{2 c^2} ( 1 - \cos \theta)\)로 치환하면 \( dy = \frac{1}{2 c^2} \sin \theta d \theta \)이다. 따라서 식 (16)ㅇ은 다음과 같이 계산된다.

$$ x(\theta) = \int \sqrt{\frac{\frac{1}{2} (1 - \cos \theta)}{1 - \frac{1}{2} (1 - \cos \theta)} } \frac{1}{2c^2} \sin \theta d \theta = \frac{1}{2 c^2} \int \sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta)}} \sqrt{1 - \cos^2 {\theta}} d \theta \tag{17}$$

여기서 \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)을 사용했다.

 

합차공식을 이용해서 식을 마저 정리하면 다음과 같은 간단한 적분이 된다.

$$ x (\theta) = \frac{1}{2 c^2} \int \sqrt{1 - \cos^2 \theta} d \theta = \frac{1}{2 c^2} \int (1 - \cos \theta) d \theta = \frac{1}{2 c^2} (\theta - \sin \theta) \tag{18}$$

 

이제 식을 모아보면 다음과 같다.

$$ x(\theta) = \frac{1}{c^2} \left( \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \right) \tag{19}$$

$$ y(\theta) = \frac{1}{c^2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \theta \right) \tag{20}$$

 

여기서 \( \frac{1}{c^2} = k^2\)으로 \( \theta = 2t \)로 치환하면 페르마의 원리를 이용했을 때랑 같은 답임을 알 수 있다.

 

 

최단 시간 곡선 문제 - 페르마의 원리를 이용한 풀이