거듭제곱 급수와 수렴 반경, 유일성 정리

이번에는 함수 급수(series of function)이 가지는 형태 중 물리학에서 많이 사용하는 형태인 거듭제곱 급수(power series)에 대해서 알아보자.

 

 

우리가 만나는 대부분의 물리학 방정식은 깔끔하게 풀리지 않는다. 따라서 거듭제곱 급수 형태의 근사(approximation)를 통해서 유사한 방정식의 형태로 바꾸게 된다.

 

가장 많이 사용되는 형태의 근사는 테일러 전개(Taylor expansion)이라고 할 수 있으며 이외에도 선형 미분 방정식(linear differential equation) 같은 경우 해를 거듭제곱 급수 형태로 바꾸어 쓸 수 있다.

 

 

거듭제곱 급수란 다음과 같은 형태의 급수를 의미한다.

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \tag{1}$$

 

이제 식 (1)에서 계수(coefficient) \( a_n \)을 어떻게 잡을 것인지는 다음에 얘기하도록 하자. 지금 주목할 점은 이 급수(series)가 발산(divergence)한다면 결국 함수가 발산하는 의미가 되므로 식 (1)과 같은 형태로 쓰는것은 어려운 일이 된다.

 

따라서 식 (1)의 급수는 수렴(convergence)해야 할 필요가 있으며 달랑베르 비율 판정법(D'Alembert ratio test)를 이용해 수렴할 조건을 따지면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} x \right| = |a x| < 1 \tag{2}$$

이때 \( a = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)이다.

 

따라서 \( x \)가 다음과 같은 조건을 만족할 때 급수가 수렴함을 알 수 있다.

$$- \frac{1}{a} < x < \frac{1}{a} \tag{3}$$

 

혹은 여기서 수렴 반경(radius of convergence) \( R \)을 정의해서 다음과 같이 식 (3)을 바꾸어 쓸 수 있다.

$$ - R < x < R \tag{4}$$

$$ R = \frac{1}{a} \tag{5}$$ 

 

 

다시 말해서 식 (1)과 같은 형태의 함수 급수는 식 (4)의 조건을 만족하는 \( x \)에서만 유의미하다고 할 수 있다. 또한 이를 단순 수렴 급수가 아니라 균등 수렴(uniform convergence)에 대해서도 생각할 수 있다.

 

균등 수렴 구간은 다음과 같은 수렴 반경 안에서 나타나며 바이어슈트라스 M-판정법(Weierstrass M-test) 등을 이용해서 찾을 수 있다.

$$ - R < -S \leq x \leq S < R \tag{6}$$

 

균등 수렴 구간에서는 함수의 미분(differentiation) 또는 적분(integration)과 합기호(summation)의 순서를 바꿀 수 있다. 즉, 항 별로 미분하고 더해주나 더해주고 미분하나 동일하다.

 

 

그리고 이 균등 수렴의 성질을 이용해서 거듭제곱 급수의 유일성 정리(uniqueness theorem)를 생각할 수 있다. 먼저 다음과 같이 만약 어떤 함수가 두 거듭제곱 급수로 표현된다고 가정해보자.

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \tag{7}$$

 

각각의 거듭제곱 급수들은 \( R_a \), \( R_b \)의 균등 수렴 반경을 가진다. 그렇다면 당연하게도 수렴 반경 안에는 \( x = 0 \)인 경우가 포함되게 된다.

 

따라서 식 (7)에 \( x = 0\)을 대입하면 다음과 같은 관계를 얻는다.

$$a_0 = b_0 \tag{8}$$

 

이번엔 균등 수렴 반경에서는 미분과 합기호의 순서를 바꿀 수 있었기 때문에 식 (7)의 양 변을 미분해주자.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n b_n x^{n-1} \tag{9}$$

 

이번에도 \( x = 0\)을 대입하면 다음과 같은 관계를 얻는다.

$$ a_1 = b_1 \tag{10}$$

 

이 과정을 계속해서 반복하면 결국 식 (7)에서 \( a_n = b_n\)이라는 결과를 얻게 되며 이는 거듭제곱 급수의 형태로 식을 전개해서 쓸 때 여러가지 표현이 불가능하고 단 하나의 거듭제곱 급수만 표현이 가능하다는 뜻이 된다.

 

이 정리는 실제로 물리학에서 많은 도움이 되는데 경계조건(boundary condition)을 준 라플라스 방정식(Laplace equation)의 해를 거듭제곱 급수 형태로 쓸 때나 양자역학(quantum mechanics)에서 섭동 이론(perturbation theory)를 쓸 때 유용하다.