중첩의 원리와 선형성
전자기학을 전개하기 이전에 전자기학의 가장 중요한 믿음인 중첩의 원리(principle of superposition)을 소개하려고 한다. 중첩의 원리는 비단 전자기학에서만 사용되는 얘기는 아니라 물리학 전반에서 중요하게 사용된다.
먼저 전하(charge)를 띠고 있는 입자가 \( N \)개 있는 계(system)를 생각해보자. 이 물리계에 전하 \( Q \)를 띤 시험 입자(test particle)를 추가해보자. 어디에 추가하는가는 중요하지 않다.
이제 새롭게 들어간 시험 입자에 작용하는 전기적인 힘을 생각해보자. 먼저 1번 입자가 시험 입자에 가하는 힘(force)을 \( \vec{F}_1 \)이라고 하자. 일반화해서 \( k \)번째 입자가 가하는 힘은 \( \vec{F}_k \)이다.
이제 시험 입자가 받는 총 힘을 구하면 각각의 전하가 주는 힘의 총 합이 된다.
$$ \vec{F}_{tot} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_N = \sum_{k=1}^N \vec{F}_k \tag{1}$$
사실 식 (1)만 구할 수 있다면 전기에 대한 내용은 사실상 다 끝난 것이다. 각 힘만 구해서 더해버리면 나머진 뉴턴의 운동 방정식(Newton's equation of motion)을 통해서 시험 전하의 궤적을 알 수 있다. 하지만 실질적으로 총 힘을 구하는 행위는 매우 어렵다.
비단 전자기학뿐만 아니라 다른 많은 물리적 상황에서도 중첩의 원리가 적용되고 그에 대한 방정식을 짤 수 있다. 물론 대부분의 경우 입자의 개수가 많아지면 문제는 매우 어려워진다.
잠시 중첩의 원리에 대한 고찰을 해보자. 중첩의 원리는 사실 논리적으로 당연한 귀결이 절대 아니다. 오히려 실험을 통해 관측한 귀납적(inductive)인 사실에 가깝다.
전하가 시험 전하에 주는 힘이 전하량에 대한 함수라고 가정해보자. 그럼 다음과 같이 식을 짜보자.
$$ \vec{F}_k = f(q_k) \tag{2}$$
전하가 2개 있는 경우 \( q_1 \)과 \( q_2 \)가 만드는 힘은 다음과 같이 표현할 수 있다. 우리는 \( f(x) \)를 \( x\)라는 전하가 만드는 힘 함수로 정의했음을 잊지 말자.
$$ f(q_1 + q_2) \tag{3}$$
이제 중첩의 원리는 식 (3)의 함수가 다음과 같은 성질을 지니고 있다는 의미가 된다.
$$ f(q_1 + q_2) = f(q_1) + f(q_2) = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \tag{4}$$
식 (4)가 당연하지 않음은 \( f(x) \)가 2차 함수인 경우에 대해서만 고려햐봐도 쉽게 알 수 있다. 2차 함수의 경우 다음과 같다.
$$ (q_1 + q_2)^2 \neq q_1^2 + q_2^2 \tag{5}$$
이를 바꿔 얘기하자면 \( f(x) \)는 1차 함수라는 의미를 가지고 있다. 1차 함수는 식 (4)를 만족함을 쉽게 알 수 있다. 실제로 전자기학의 경우 전기력(electric force)는 전하량에 대한 1차 함수 형태다. 그리고 이는 실험적으로 발견한 사실이다.
이러한 1차 함수와 동일한 성질을 가지는 함수를 우리는 선형 함수(linear function)이라고 부른다. 1차 함수의 그래프가 직선 형태임을 상기하자. 그리고 이런 성질을 선형성(linearity)라고 부른다.
선형성은 다음과 같이 가산성(addictivity)과 동차성(homogeneity) 2개의 성질로 정의된다.
$$\text{Addictivity :} f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) \tag{6}$$
$$\text{Homogeneity :} f(a x_1) = a f(x_1) \tag{7}$$
선형성은 함수에만 통용되는 얘기는 아니다. 연산에 대해서도 선형성을 지니는 연산을 생각할 수 있고 이러한 성질을 띠는 연산자(operator)를 선형 연산자(linear operator)라고 한다.
$$ \hat{O} ( x + y ) = \hat{O} (x) + \hat{O} (y) \tag{8}$$
대표적으로 미분(derivative)가 이러한 선형 연산자의 대표적인 예시다.
$$ \frac{d}{dx} \left( f(x) + g(x) \right) = \frac{d f(x)}{dx} + \frac{d g(x)}{dx} \tag{9}$$
식 (8)을 더 일반화하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \hat{O} \left( \sum_{i = 1}^n a_i x_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \hat{O} (x_i) \tag{10}$$
다음 글에서는 전기력이 이러한 선형성을 띠고 있다는 사실은 어떻게 발견했는가를 다룰 예정이다.