행렬의 기초 - 행렬과 행렬의 곱셈

수리물리

행렬의 기초 - 행렬과 행렬의 곱셈

방구석물포자 2023. 2. 12. 22:19

이번 글에서는 벡터(vector)들의 연산을 효율적으로 표현하기 위해서 행렬(matrix)를 정의하고 그 성질을 살펴볼 예정이다.

먼저 행렬의 정의는 숫자나 함수(function), 연산자(operator)들의 2차원 배열(array)을 의미한다. 사각 격자에 원하는 대상을 집어넣으면 된다.

행렬을 맨처음 만들게 된 계기는 사실 연립 방정식(simultaneous equation)을 풀기위해서 였다. 다음과 같은 두 개의 연립 방정식을 생각해보자.

$\begin{matrix} (1) & a x + b y = m \end{matrix}$

$\begin{matrix} (2) & c x + d y = n \end{matrix}$

평범하게 연립 방정식을 푸는 방법은 두 식 중 원하는 식을 한 변수에 대한 식으로 고친 다음 나머지 식에 대입하는 방식을 이용한다. 하지만 변수의 개수가 많아지면 이 방법은 상당히 풀이가 복잡해진다.

하지만 이 식들을 다음과 같이 표현해보자.

$\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}) \end{matrix}$

식 (3)과 같이 연립 방정식을 표현하는 방식이 행렬과 벡터를 이용한 표현 방법인데 이 방법을 이용하면 연립 방정식에 대한 관점을 바꿀 수 있다.

식 (3) 형태는 $x$ 와 $y$ 를 성분으로 가지는 벡터가 어떤 행렬에 의해 $m$ 과 $n$ 을 성분으로 가지는 벡터로 변환(transform)된 것이다. 이제 우리는 변환 행렬(transformation matirx)의 성질을 이용해서 원래 벡터를 찾아낼 수 있다.

잠시 우리가 다루려는 행렬의 성분이 전부 실수(real number)인 경우를 생각해보자. 식 (3)에서와 같이 사각형 격자를 만들 수 있으며 크기는 얼마든지 더 크게 만들 수 있다.

따라서 세로로 $m$ 개 성분을 가로로 $n$ 개 성분을 가지는 행렬을 생각해보자. 이 행렬의 성분의 개수는 전부 $m \times n$ 개이며 우리는 $m \times n$ 행렬이라고 부른다.

$\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{m 1} & A_{m 2} & A_{m 3} & \dots & A_{m n} \end{matrix}) \end{matrix}$

여기서 행렬의 특정 성분만 보고 싶을 수 있다. 몇 번째 가로줄과 몇 번째 세로줄에 있는지 알면 정확한 성분을 지칭할 수 있고 우리는 여기서 몇 번째 가로줄인가를 얘기할 때 행(row)이라고 하며 몇 번째 세로줄인가는 열(column)이라고 한다.

가령 식 (4)에서 $A_{23}$ 은 2행 3열에 있는 성분을 의미한다. 많은 경우 $A$ 라는 어떤 행렬의 $α$ 행 $β$ 열 성분은 $A_{α β}$ 로 표현한다.

또한 한 줄로만 이루어진 행렬을 생각해 볼 수 있는데 사실 이는 벡터와 전혀 다르지 않음을 알 수 있다. 이러한 종류에 대해선 나중에 텐서(Tensor)로 더 일반화 해서 생각할 수 있다.

근데 한 줄을 행으로 뽑는가 열로 뽑는가에 따라서 벡터의 모양은 좀 다를 수 있다. 그래서 행으로 뽑는 벡터를 행 벡터(row vector), 열로 뽑는 벡터를 열 벡터(column vector)라고 부르기도 한다.

여기서 잠시 식 (3)과 식 (1), (2)의 관계를 통해 행렬이 어떻게 벡터를 변환시키는지 그 연산 법칙을 유추해 볼 수 있다. 먼저 $3 \times 3$ 행렬의 경우 어떤 변환을 만드는지 생각해보자.

$\begin{matrix} (5) & (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{11} x + A_{12} y + A_{13} z \\ A_{21} x + A_{22} y + A_{23} z \\ A_{31} x + A_{32} y + A_{33} z \end{matrix}) \end{matrix}$

여기서 주의해야 할 점은 변환 행렬의 열의 개수와 변환되는 백터의 행의 개수는 일치해야 한다. $m \times n$ 행렬은 $n$ 차원 벡터만 변환이 가능하다. 다음과 같은 연산은 정의되지 않는다.

$\begin{matrix} (6) & (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}$

그렇다면 $1 \times n$ 행렬과 $n \times 1$ 열 벡터의 연산도 생각해 볼 수 있으며 이는 사실 내적(inner product)과 동일함을 알 수 있다.

$\begin{matrix} (7) & (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \dots & a_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n} \end{matrix}$

이번엔 $m \times n$ 행렬이 $n$ 차원 벡터를 변환시키는 경우로 일반화 시켜보자.

$\begin{matrix} (8) & (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \dots & A_{2 n} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & \dots & A_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{m 1} & A_{m 2} & A_{m 3} & \dots & A_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{11} x_{1} + A_{12} x_{2} + A_{13} x_{3} + \dots + A_{1 n} x_{n} \\ A_{21} x_{1} + A_{22} x_{2} + A_{23} x_{3} + \dots + A_{2 n} x_{n} \\ A_{31} x_{1} + A_{32} x_{2} + A_{33} x_{3} + \dots + A_{3 n} x_{n} \\ ⋮ \\ A_{m 1} x_{1} + A_{m 2} x_{2} + A_{m 3} x_{3} + \dots + A_{m n} x_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$

그런데 매번 식 (8)과 같이 쓰기는 힘들 것이다. 특히 다루고자 하는 차원이 높아지면 높아질 수록 손으로 쓰기조차 버거워진다. 따라서 식 (8)의 우변의 결과 벡터를 다음과 같이 합 기호(summation)을 이용해서 간략화 해보자.

$\begin{matrix} (9) & (\begin{matrix} A_{11} x_{1} + A_{12} x_{2} + A_{13} x_{3} + \dots + A_{1 n} x_{n} \\ A_{21} x_{1} + A_{22} x_{2} + A_{23} x_{3} + \dots + A_{2 n} x_{n} \\ A_{31} x_{1} + A_{32} x_{2} + A_{33} x_{3} + \dots + A_{3 n} x_{n} \\ ⋮ \\ A_{m 1} x_{1} + A_{m 2} x_{2} + A_{m 3} x_{3} + \dots + A_{m n} x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} A_{1 i} x_{i} \\ \sum_{i = 1}^{n} A_{2 i} x_{i} \\ \sum_{i = 1}^{n} A_{3 i} x_{i} \\ ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} A_{m i} x_{i} \end{matrix}) \end{matrix}$

식 (8)에서 행렬을 $A$ , 변환되는 벡터를 $x$ , 변환된 행렬을 $y$ 라고 표현하면 다음과 같다.

$\begin{matrix} (10) & A x = y \end{matrix}$

이제 $y$ 의 $j$ 번째 성분을 식 (9)를 이용해서 표현하면 다음과 같다.

$\begin{matrix} (11) & y_{j} = \sum_{i = 1}^{n} A_{j i} x_{i} \end{matrix}$

아인슈타인(Einstein)이 사용한 표현법에 의해 합 기호를 빼고 간단하게 $y_{j} = A_{j i} x_{i}$ 로 표현하기도 한다. 상대성 이론(relativistic theory)에서 많이 사용되는 표현법이며 한쪽 항에 문자가 2개 있다면 합 기호가 생략된 것으로 간주한다.

지금까지 행렬이 벡터를 변환하는 과정으로 봤다. 근데 벡터를 지금 행이나 열이 1개인 행렬로 봤었다. 따라서 이 과정은 행렬과 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다.

따라서 이번엔 이 과정을 일반화시켜서 행렬간의 곱셈을 만들어 볼 수 있다. 벡터의 연산에서와 마찬가지로 $m \times n$ 행렬은 $n \times l$ 형태의 행렬하고만 곱할 수있다. 따라서 앞에 있는 행렬의 열과 뒤에 있는 행렬의 행이 일치해야 한다.

행렬과 벡터의 연산을 응용해서 다음과 같이 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱을 만들자.

$\begin{matrix} (12) & \begin{matrix} (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{m 1} & A_{m 2} & \dots & A_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 l} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{n 1} & B_{n 2} & \dots & B_{n l} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} A_{11} B_{11} + \dots + A_{1 n} B_{n 1} & A_{11} B_{12} + \dots + A_{1 n} B_{n 2} & \dots & A_{11} B_{1 l} + \dots + A_{1 n} B_{n l} \\ A_{21} B_{11} + \dots + A_{2 n} B_{n 1} & A_{21} B_{12} + \dots + A_{2 n} B_{n 2} & \dots & A_{21} B_{1 l} + \dots + A_{2 n} B_{n l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{m 1} B_{11} + \dots + A_{m n} B_{n 1} & A_{m 1} B_{12} + \dots + A_{m n} B_{n 2} & \dots & A_{m 1} B_{l 1} + \dots + A_{m n} B_{n l} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} A_{1 j} B_{j 1} & \sum_{j = 1}^{n} A_{1 j} B_{j 2} & \dots & \sum_{j = 1}^{n} A_{1 j} B_{j l} \\ \sum_{j = 1}^{n} A_{2 j} B_{j 1} & \sum_{j = 1}^{n} A_{2 j} B_{j 2} & \dots & \sum_{j = 1}^{n} A_{2 j} B_{j l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{j = 1}^{n} A_{m j} B_{j 1} & \sum_{j = 1}^{n} A_{m j} B_{j 2} & \dots & \sum_{j = 1}^{n} A_{m j} B_{j l} \end{matrix}) \end{matrix} \end{matrix}$

식 (12)에서 사용한 행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱을 $C$ 라 하면 $C$ 는 $m \times l$ 행렬이 되며 성분은 다음과 같이 일반화해서 표현할 수 있다.

$\begin{matrix} (13) & C_{i j} = (A B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j} = A_{i k} B_{k j} \end{matrix}$

마지막 식은 아인슈타인 표기법을 따른 것이다.