라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건

오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 역학(dynamics)을 기술하는 방식을 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)이라고 한다.

 

뉴턴 제 2법칙에서 정의된 힘(force)을 기반으로 방정식을 짜는 것과 달리 라그랑주 역학은 오일러-라그랑주 방정식을 통해서 운동 방정식(equation of motion)을 짠다.

 

이번에는 라그랑주 역학을 만들기 이전에 필요한 일반화된 좌표(generalized coordinate)와 제약 조건(constraint condition)을 다뤄보려고 한다.

 

 

먼저 입자가의 개수가 많은 다체계(many body system)에서 뉴턴 제 2법칙은 다음과 같이 표현될 수 있다. 각 입자에 번호를 매겨서 이 변수를 \( i \)와 \( j \)로 표현한다.

$$ \frac{d \vec{p}_i}{dt} = m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j} \vec{F}_{ji} + \vec{F}^{(e)}_i \tag{1} $$

\( i \) 입자에 대한 방정식이다.

 

여기서 \( \vec{F}_i^{(e)} \)는 외부에서 \( i \)번째 입자에 가하는 힘이고 \( \vec{F}_{ji} \)는 입자계 내부에서 \( j \)번째 입자가 \( i \)번째 입자에 가하는 힘이다.

 

그러나 식 (1)은 아주 간단하게 만든 이론적인 모형이다. 실제 물리적인 상황에선 입자의 운동에 한계가 걸리는 경우가 많다. 이런 조건을 제약 조건이라고 부른다.

 

 

제약 조건은 그 조건에 따라서 다양한 방법으로 분류될 수 있다. 

 

특히 이러한 제약 조건들 중 입자들의 좌표(coordinate)나 시간(time)에 대한 함수로 표현될 수 있으며 이러한 제약 조건을 홀로노믹(holonomic)이라고 한다. 다음과 같은 방식으로 표현된다.

$$ f(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3, \cdots , t) = 0 \tag{2} $$

여기서 \( \vec{r}_i \)는 \( i \)번째 입자의 좌표를 의미한다.

 

만약 제약 조건이 이런식으로 표현이 불가능하다면 비홀로노믹(non-holonomic)이라고 한다.

 

추가로 제약 조건 중에서 시간을 변수로 포함하는 제약 조건을 레오노믹(rheonomic)이라고 하며 시간에 의존하지 않을 경우 스클로노믹(scleronmic)이라고 한다.

 

 

그러나 제약 조건이 들어가면 방정식을 푸는데 문제가 생긴다. 일단 좌표에 대한 함수가 들어가기 때문에 더 이상 좌표들끼리 독립적이지 않다. 즉, 특정 방향의 좌표가 다른 방향의 좌표에 영향을 끼치고 이 영향이 운동 방정식에 등장한다.

 

홀로노믹 제약 조건의 경우 이 문제점을 해소할 수 있다. 정확히는 일반화된 좌표를 정의해 이 문제점을 해소할 수 있다.

 

제약 조건이 없는 \( N \)개 입자로 이루어진 계의 경우 각 입자들이 3가지 방향으로 자유롭게 움직일 수 있으므로 \(3 N \)개의 독립된 좌표가 존재한다. (3차원 공간을 가정했다.) 이를 다른 말로 자유도(degree of freedom)이라고 한다. 

 

홀로노믹 제약 조건이 \( k \)개의 함수를 함수를 만들어낸다고 해보자. 다시 말해서 \(f (\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, \vec{r}_N, t) = 0\) 형태의 방정식이 \( k \)개 있다.

 

 

이 방정식들은 연립을 통해서 \( 3N \)개의 좌표 중 서로 연관된 \( k \)개의 좌표를 없앨 수 있다. 따라서 이 계는 \( 3N - k\)개의 독립된 좌표로 표현되며 \(3N - k \)개의 자유도를 가진다고 한다.

 

이렇게 좌표를 지우는 과정은 \( 3N - k\)개의 독립 변수(independent variable)들로 표현이 가능하다. 이 좌표들을 \( q_1, q_2, \cdots, q_{3N-k}\)로 표현하자.

 

입자들의 좌표 \( \vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, \vec{r}_N \)들을 새로운 변수 좌표들로 표현할 수 있다. 다음과 같은 어떤 함수로 표현이 가능하다고 하자.

$$ \begin{matrix} \vec{r}_1 & = & \vec{r}_1 (q_1, q_2, \cdots, q_{3N-k}, t) \\ \vec{r}_2 & = & \vec{r}_2 (q_1, q_2, \cdots, q_{3N-k}, t) \\ &\vdots& \\ \vec{r}_N & = & \vec{r}_N (q_1, q_2, \cdots, q_{3N-k}, t) \end{matrix} \tag{3}$$

 

이를 \( \left\{ q_l \right\} \)라는 변수 집합(set)을\( \left\{ \vec{r}_i \right\} \) 변수 집합으로 변환(transformation)하는 변환 방정식(transformation equation)이라고 이해할 수 있다.

 

반대로 \( \left\{ \vec{r}_i \right\} \) 집합에서 \( \left\{ q_l \right\} \) 집합으로 변환하는 것으로도 생각할 수 있다.

 

정리하자면 \( k \)개의 제약 조건 방정식들을 \( \vec{r}_i \)과 시간에 대한 \(q_l\)의 함수로 바꿀 수 있다. 이렇게 바뀐 새로운 좌표들을 일반화된 좌표라고 한다.

 

 

일반적으로 일반화된 좌표계는 데카르트 좌표(Cartesian coordinate)와는 다르다. 대표적으로 지구 표면에서 움직이는 물체의 경우 표면이라는 제약 조건 때문에 위도(latitude)와 경도(longitude)라는 두 각도로 표현한다.

 

심지어 이러한 제약 조건이 없는 경우에도 경우에 따라선 데카르트 좌표보단 다른 직교 좌표(orthogonal coordinate)를 설정하는 편이 문제 풀이가 쉬운 경우가 있다. 물리학에서 사용하는 다른 좌표에 대해선 다음에 수리 물리에서 다뤄볼 예정이다.